Question

2．已知正數(shù)a，b，c滿足$\left\{\begin{array}{l}{a^2}+{c^2}={4^2}\\{b^2}+{c^2}={5^2}\end{array}\right.$，求a²+b²的取值范圍．

Answer 1

分析 設(shè)a²+b²=k③，先將原方程相加后得方程④，③與④組成新的方程組，分別相加或相減得出關(guān)于k的不等式，三個不等式組成不等式組解出即可．

解答 解：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{c}^{2}={4}^{2}①}\\{{b}^{2}+{c}^{2}={5}^{2}②}\end{array}\right.$，
設(shè)a²+b²=k③，
由②-①得：b²-a²=5²-4²=9④，
則$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}=k③}\\{{b}^{2}-{a}^{2}=9④}\end{array}\right.$，
③-④得：2a²=k-9，
a²=$\frac{k-9}{2}$＞0，
③+④得：2b²=k+9，
b²=$\frac{k+9}{2}$＞0，
①+②得：a²+b²+2c²=4²+5²，
k+2c²=41，
c²=$\frac{41-k}{2}$＞0，
得：9＜k＜41，
即a²+b²的取值為：9＜a²+b²＜41．

點(diǎn)評 本題是求高次方程的取值問題，考查了根據(jù)方程的特點(diǎn)進(jìn)行加減消元及不等式組的解法，有一定的技巧性．