Question

11．△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∠BAC=∠ACG=4∠EDC，CG=AD=4，$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ACG}}}}$=$\frac{1}{4}$，BC=4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 ①根據角的關系證明∠AED=∠ADE，則AD=AE，所以AE=CG，證明△ABE≌△CAG，則面積相等；
②作輔助線，構建三角形的高線BF和DH，根據中位線的性質得：DH∥BF，DH=$\frac{1}{2}$BF，代入已知的三角形面積的關系式得：S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BF=4S_△DEC=4×$\frac{1}{2}$CE•DH，得出AE=2CE，求CE的長，利用勾股定理求CD=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，所以BC=2CD=4$\sqrt{5}$．

解答 解：設∠EDC=α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即∠ADE+α=90°，
∠DAB=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=4α，
∴∠DAB=∠DAC=2α，
∵∠DAC+∠ADE+∠AED=180°，
∴2α+∠ADE+∠AED=180°，
∵∠ADE+α=90°，
∴∠AED+α=90°，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
∵AD=CG，
∴AE=CG，
連接BE，
在△ABE和△CAG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAC=∠ACG}\\{AE=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CAG（SAS），
∴S_△ABE=S_△CAG，
∵$\frac{{{S_{△DEC}}}}{{{S_{△ACG}}}}$=$\frac{1}{4}$，
∴S_△ACG=4S_△DEC，
∴S_△ABE=4S_△DEC，
過B作BF⊥AC，交CA的延長線于F，取CF的中點H，連接DH，
∵D是BC的中點，
∴DH∥BF，DH=$\frac{1}{2}$BF，
∴DH⊥AC，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•BF=4S_△DEC=4×$\frac{1}{2}$CE•DH，
AE•BF=4CE$•\frac{1}{2}$BF，
∴AE=2CE，
∵CG=AD=AE=4，
∴CE=2，
∴AC=6，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴BC=2CD=4$\sqrt{5}$，
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了三角形全等的性質和判定、三角形中位線定理、三角形面積、勾股定理等知識，難度較大，作出輔助線是本題的突破口，證明三角形全等和求出AE=2CE是本題的關鍵．