Question

19．如圖，A、B兩座城市相距100千米，現計劃在兩城市間修筑一條高速公路（即線段AB）．經測量，森林保護區中心P點既在A城市的北偏東30°的方向上，又在B城市的南偏東45°的方向上．已知森林保護區的范圍是以P為圓心，35千米為半徑的圓形區域內．請問：計劃修筑的這條高速公路會不會穿越森林保護區？請通過計算說明．（參考數據：$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{2}$≈1.414）

Answer 1

分析 過點P作PC⊥AB，C是垂足．AC與BC就都可以根據三角函數用PC表示出來．根據AB的長，得到一個關于PC的方程，解出PC的長．從而判斷出這條高速公路會不會穿越森林保護區．

解答 解：過點P作PC⊥AB，C是垂足，則∠A=30°，∠B=45°，
AC=$\frac{PC}{tan30°}$=$\sqrt{3}$PC，BC=$\frac{PC}{tan45°}$=PC．
∵AC+BC=AB，
∴$\sqrt{3}$PC+PC=100，
∴PC=50（$\sqrt{3}$-1）≈50×（1.732-1）=36.6＞35．
答：森林保護區的中心與直線AB的距離大于保護區的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區．

點評 本題主要考查解直角三角形的應用-方向角問題，解一般三角形的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解決的方法就是作高線．