Question

9．某產(chǎn)品每件成本28元，在試銷階段產(chǎn)品的日銷售量y（件）與每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)x（元）之間的關(guān)系如圖中的折線所示．為維持市場物價(jià)平衡，最高售價(jià)不得高出83元．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）要使每日的銷售利潤w最大，每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷售利潤是多少元？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)圖象可知該函數(shù)分為三段，然后分別設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)圖象提供的信息求出相應(yīng)的函數(shù)解析式即可解答本題；
（2）根據(jù)第（1）問中的函數(shù)解析式可以求出所對應(yīng)的利潤，然后求出各段的最大利潤然后進(jìn)行比較即可解答本題．

解答 解：（1）當(dāng)30＜x≤40時(shí)，設(shè)此段的函數(shù)解析式為：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=66}\\{40k+b=36}\end{array}\right.$
解得，k=-3，b=156
∴當(dāng)30＜x≤40時(shí)，函數(shù)的解析式為：y=-3x+156；
當(dāng)40＜x≤80時(shí)，設(shè)此段函數(shù)的解析式為：y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{40m+n=36}\\{80m+n=16}\end{array}\right.$
解得，m=$-\frac{1}{2}$，n=56，
∴當(dāng)40＜x≤80時(shí)，函數(shù)的解析式為：y=$-\frac{1}{2}x+56$；
當(dāng)80＜x≤83時(shí)，y=16；
由上可得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=$\left\{\begin{array}{l}{-3x+156}&{30＜x≤40}\\{-\frac{1}{2}x+56}&{40＜x≤80}\\{16}&{80＜x≤83}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)30＜x≤40時(shí)，
w=（x-28）y
=（x-28）（-3x+156）
=-3x²+240x-4368
=-3（x-40）²+432
∴當(dāng)x=40時(shí)取得最大值，最大值為w=432元；
當(dāng)40＜x≤80時(shí)，
w=（x-28）y
=（x-28）（$-\frac{1}{2}x+56$）
=$-\frac{1}{2}{x}^{2}+70x-1568$
=$-\frac{1}{2}（x-70）^{2}+882$，
∴當(dāng)x=70時(shí)，取得最大值，最大值為w=882元；
當(dāng)80＜x≤83時(shí)，w=（x-28）×16
∴當(dāng)x=83時(shí)，取得最大值，最大值為w=880元；
由上可得，當(dāng)x=70時(shí)，每日點(diǎn)的銷售利潤最大，最大為882元，
即要使每日的銷售利潤w最大，每件產(chǎn)品的日銷售價(jià)應(yīng)定為70元，此時(shí)每日銷售利潤是882元．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意根據(jù)圖象可以求出各段對應(yīng)的函數(shù)解析式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求出各段的最大利潤．