Question

1．已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx與直線y=2x交于點O（0，0），A（a，12），點B是拋物線上O，A之間的一個動點，過點B分別作x軸、y軸的平行線與直線OA交于點C，E．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若點C為OA的中點，求EB的長．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入直線解析式求出a的值，繼而將點A的坐標代入拋物線解析式可得出b的值，繼而得出拋物線解析式；
（2）根據點B的橫坐標為m，表示出點B的坐標是（m，$\frac{1}{2}$m²-m），點E的坐標為（m，2m），根據A，O點坐標得出C點坐標，進而得出m的值即可得出答案．

解答 解：（1）∵點A（a，12）在直線y=2x上，
∴12=2a，
解得：a=6，
又∵點A是拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx上的一點，
將點A（6，12）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx，可得b=-1，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-x．

（2）如圖所示：∵點B的橫坐標為m，
∴點B的坐標是（m，$\frac{1}{2}$m²-m），點E的坐標為（m，2m），
∴BE=2m-（$\frac{1}{2}$m²-m）=-$\frac{1}{2}$（m-3）²+$\frac{9}{2}$，
∵C為AO的中點，
∴C（3，6），
∴$\frac{1}{2}$m²-m=6，
解得：m₁=1+$\sqrt{13}$，m₂=1-$\sqrt{13}$（不合題意舍去），
∴BE=-$\frac{1}{2}$（m-3）²+$\frac{9}{2}$=-$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{13}$-3）²+$\frac{9}{2}$=2$\sqrt{13}$-4．

點評 此題考查了二次函數的性質、配方法、待定系數法求二次函數解析式的知識，表示出C、E、B點坐標是解題關鍵．