Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（1，4），點B（4，0），點C（1，0）．
（1）點D為射線CO上的一動點，若△DAB為等腰三角形，請直接寫出此時點D的坐標(biāo)．
（2）在y軸上，是否存在一點E，使得△EAB的面積△CAB的面積相等？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）在y軸上，是否存在一點F，使得△FAB的周長最小？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)A，B，C坐標(biāo)，求出AC與BC的長，再利用勾股定理求出AB的長，如圖1所示，分三種情況考慮：若AB=AD′=5；若BD=AB=5；若AD″=BD″，分別求出D坐標(biāo)即可；
（2）在y軸上，存在一點E，使得△EAB的面積△CAB的面積相等，理由為：由（1）得直線AB對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，過點C作直線AB的平行線，交y軸于點E，如圖2所示，設(shè)出CE解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+c，把C坐標(biāo)代入求出c的值，確定出CE解析式，求出CE與x軸的交點坐標(biāo)E坐標(biāo)；同理，過點（7，0）作直線AB的平行線，求出E坐標(biāo)，綜上，得到滿足題意E坐標(biāo)即可；
（3）在y軸上，存在一點F，使得△FAB的周長最小，作出A關(guān)于y軸的對稱點A₁，連接BA₁，與y軸交于點F，此時AF+BF最小，即△FAB的周長最小，求出直線CF解析式，確定出直線CF與y軸交點坐標(biāo)即為F坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（1，4），B（4，0），C（1，0），
∴AC=4，BC=3，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
如圖1所示，分三種情況考慮：

若AB=AD′=5，由對稱性得到D′（-2，0）；
若BD=AB=5，可得OD=BD-OB=5-4=1，即D（-1，0）；
若AD″=BD″，此時D″為線段AB的垂直平分線與x軸的交點，
設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，
把A與B坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{m+n=4}\\{4m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{4}{3}$，n=$\frac{16}{3}$，即AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
由A（1，4），B（4，0）得到線段AB中點坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，2），
∴線段AB垂直平分線方程為y-2=$\frac{3}{4}$（x-$\frac{5}{2}$），
令y=0，得到x=-$\frac{1}{6}$，即D″（-$\frac{1}{6}$，0），
綜上，D的坐標(biāo)為（-1，0）或（-2，0）或（-$\frac{1}{6}$，0）；
（2）在y軸上，存在一點E，使得△EAB的面積△CAB的面積相等，理由為：
由（1）得直線AB對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
過點C作直線AB的平行線，交y軸于點E，如圖2所示，

設(shè)直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{3}$x+c，
∵點C在直線CE上，
∴把C（1，0）代入得：0=-$\frac{4}{3}$×1+c，
解得：c=$\frac{4}{3}$，
∴點E的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{3}$），
同理，過點（7，0）作直線AB的平行線，得點E的坐標(biāo)為（0，$\frac{28}{3}$），
綜上，存在點E，且點E的坐標(biāo)為（0，$\frac{4}{3}$）或（0，$\frac{28}{3}$）；
（3）在y軸上，存在F，使得△FAB的周長最小，
如圖3所示，點A關(guān)于y軸的對稱點A₁的坐標(biāo)為（-1，4）．連接A₁B交y軸于點F，連接AF，此時△FAB的周長最小，

設(shè)直線A₁B的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{0=4m+n}\\{4=-m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{4}{5}}\\{n=\frac{16}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線A₁B的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{5}$x+$\frac{16}{5}$，
則點F的坐標(biāo)為（0，$\frac{16}{5}$）．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．