Question

17．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖所示）就是一例．

這個(gè)三角形的構(gòu)造法則為：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和．事實(shí)上，這個(gè)三角形給出了（a+b）ⁿ（n為正整數(shù)）的展開(kāi)式（按a的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)（a+b）²=a²+2ab+b²展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)著（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)等等．根據(jù)上面的規(guī)律，（a+b）⁴的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)最大的數(shù)為6；式子7⁵+5×7⁴×（-5）+10×7³×（-5）²+10×7²×（-5）³+5×7×（-5）⁴+（-5）⁵的值為32．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形的構(gòu)造法則，確定出（a+b）⁴的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)最大的數(shù)；原式變形后，計(jì)算即可得到結(jié)果．

解答 解：根據(jù)題意得：（a+b）⁴的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為1，4，6，4，1，即最大的數(shù)為6；
7⁵+5×7⁴×（-5）+10×7³×（-5）²+10×7²×（-5）³+5×7×（-5）⁴+（-5）⁵=（7-5）⁵=32．
故答案為：6；32．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．