Question

12．已知直線m，n相交于點B，點A，C分別為直線m，n上的點，AB=BC=1，且∠ABC=60°，點E是直線m上的一個動點，點D是直線n上的一個動點，運動過程中始終滿足DE=CE．
（1）如圖1，當點E運動到線段AB的中點，點D在線段CB的延長線上時，求BD的長．
（2）如圖2，當點E在線段AB上運動，點D在線段CB的延長線上時，試確定線段BD與AE的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）證明△ABC為等邊三角形，得出∠ACB=∠ABC=60°，由等邊三角形的性質得出∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，由等腰三角形的性質得出∠EDB=30°，由三角形的外角性質得出∠DEB=∠EDB，即可得出結論；
（2過點E作EF∥BC交AC于點F，由平行線的性質得出∠AFE=∠ACB=60°，證出∠EFC=120°，∠AFE=∠A，得出EF=EA，證出∠DEB=∠ECF，由AAS證明△EDB≌△CEF，得出BD=EF，即可得出結論．

解答 解：（1）∵∠ABC=60°，AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵點E是線段AB的中點，
∴∠ECB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵DE=CE，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=∠EDB+∠DEB，
∴∠DEB=30°=∠EDB，
∴BD=DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$；
（2）BD=AE；理由如下：
過點E作EF∥BC交AC于點F，如圖所示：
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=60°，
∴∠EFC=120°，∠AFE=∠A，
∴EF=EA，
∵∠ABC=60°，
∴∠EBD=120°，
∴∠EFC=∠EBD，
∵CE=DE，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EDB+∠DEB=∠ECB+∠ECF=60°，
∴∠DEB=∠ECF，
在△EDB和△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DEB=∠ECF}&{\;}\\{∠EBD=∠EFC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△CEF（AAS），
∴BD=EF，
∵EF=EA，
∴BD=AE．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質；熟練掌握等邊三角形的判定與性質，證明三角形全等是解決問題（2）的關鍵．