Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）的頂點為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對應的準蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點M稱為碟頂，點M到線段AB的距離稱為碟高．

（1）拋物線y=x²對應的碟寬為　 　；拋物線y=4x²對應的碟寬為　 　；拋物線y=ax²（a＞0）對應的碟寬為　 　；拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）對應的碟寬為　 　；

（2）拋物線y=ax²﹣4ax﹣（a＞0）對應的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；

（3）將拋物線y=a_nx²+b_nx+c_n（a_n＞0）的對應準蝶形記為F_n（n=1，2，3…），定義F₁，F₂，…，F_n為相似準蝶形，相應的碟寬之比即為相似比．若F_n與F_n﹣1的相似比為，且F_n的碟頂是F_n﹣1的碟寬的中點，現將（2）中求得的拋物線記為y₁，其對應的準蝶形記為F₁．

①求拋物線y₂的表達式；

②若F₁的碟高為h₁，F₂的碟高為h₂，…F_n的碟高為h_n，則h_n=　 　，F_n的碟寬有端點橫坐標為　  　；F₁，F₂，…，F_n的碟寬右端點是否在一條直線上？若是，直接寫出該直線的表達式；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）4；1；；．

分析如下：

∵a＞0，

∴y=ax²的圖象大致如下：

其必過原點O，記AB為其碟寬，AB與y軸的交點為C，連接OA，OB．

∵△DAB為等腰直角三角形，AB∥x軸，

∴OC⊥AB，

∴∠OCA=∠OCB=∠AOB=90°=45°，

∴△ACO與△BCO亦為等腰直角三角形，

∴AC=OC=BC，

∴x_A=y_A，x_B=y_B，代入y=ax²，

∴A（﹣，），B（，），C（0，），

∴AB=，OC=，

即y=ax²的碟寬為．

①拋物線y=x²對應的a=，得碟寬為4；

②拋物線y=4x²對應的a=4，得碟寬為為；

③拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為；

④拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）可看成y=ax²向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度后得到的圖形，

∵平移不改變形狀、大小、方向，

∴拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0）的準碟形≌拋物線y=ax²的準碟，

∵拋物線y=ax²（a＞0），碟寬為，

∴拋物線y=a（x﹣2）²+3（a＞0），碟寬為．

（2）∵y=ax²﹣4ax﹣=a（x﹣2）²﹣（4a+），

∴同（1），其碟寬為，

∵y=ax²﹣4ax﹣的碟寬為6，

∴=6，

解得 a=，

∴y=（x﹣2）²﹣3．

（3）①∵F₁的碟寬：F₂的碟寬=2：1，

∴，

∵a₁=，

∴a₂=．

∵y=（x﹣2）²﹣3的碟寬AB在x軸上（A在B左邊），

∴A（﹣1，0），B（5，0），

∴F₂的碟頂坐標為（2，0），

∴y₂=（x﹣2）²．

②∵F_n的準碟形為等腰直角三角形，

∴F_n的碟寬為2h_n，

∵2h_n：2h_n﹣1=1：2，

∴h_n=h_n﹣1=（）²h_n﹣2=（）³h_n﹣3=…=（）ⁿ⁺¹h₁，

∵h₁=3，

∴h_n=．

∵h_n∥h_n﹣1，且都過F_n﹣1的碟寬中點，

∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在一條直線上，

∵h₁在直線x=2上，

∴h₁，h₂，h₃，…，h_n﹣1，h_n都在直線x=2上，

∴F_n的碟寬右端點橫坐標為2+．

另，F₁，F₂，…，F_n的碟寬右端點在一條直線上，直線為y=﹣x+5．

分析如下：

考慮F_n﹣2，F_n﹣1，F_n情形，關系如圖2，

F_n﹣2，F_n﹣1，F_n的碟寬分別為AB，DE，GH；C，F，I分別為其碟寬的中點，都在直線x=2上，連接右端點，BE，EH．

∵AB∥x軸，DE∥x軸，GH∥x軸，

∴AB∥DE∥GH，

∴GH平行相等于FE，DE平行相等于CB，

∴四邊形GFEH，四邊形DCBE都為平行四邊形，

∴HE∥GF，EB∥DC，

∵∠GFI=•∠GFH=•∠DCE=∠DCF，

∴GF∥DC，

∴HE∥EB，

∵HE，EB都過E點，

∴HE，EB在一條直線上，

∴F_n﹣2，F_n﹣1，F_n的碟寬的右端點是在一條直線，

∴F₁，F₂，…，F_n的碟寬的右端點是在一條直線．

∵F₁：y₁=（x﹣2）²﹣3準碟形右端點坐標為（5，0），

  F₂：y₂=（x﹣2）²準碟形右端點坐標為（2+，），

∴待定系數可得過兩點的直線為y=﹣x+5，

∴F₁，F₂，…，F_n的碟寬的右端點是在直線y=﹣x+5上．