Question

4．如圖，已知圓O的面積為3π，AB為圓O的直徑，∠AOC=80°，∠BOD=20°，點P為直徑AB上任意一點，則PC+PD的最小值是3．

Answer 1

分析 先設圓O的半徑為r，由圓O的面積為3π求出r的值，再作點C關于AB的對稱點C′，連接OC′，DC′，則DC′的長即為PC+PD的最小值，由軸對稱的性質得出∠AOC′的度數，故可得出∠BOC′的度數，再由銳角三角函數的定義即可得出DC′的長．

解答 解：設圓O的半徑為r，
∵⊙O的面積為3π，
∴3π=πr²，即r=$\sqrt{3}$．
作點C關于AB的對稱點C′，連接OC′，DC′，則DC′的長即為PC+PD的最小值，
∵∠AOC=80°，
∴∠AOC=∠AOC′=80°，
∴∠BOC′=100°，
∵∠BOD=20°，
∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°，
∵OC′=OD，
∴∠ODC′=30°
∴DC′=2OD•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，即PC+PD的最小值為3．
故答案為：3．

點評 本題考查的是圓周角定理及軸對稱-最短路線問題，根據題意作出點C關于直線AB的對稱點是解答此題的關鍵．