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4.如圖,已知圓O的面積為3π,AB為圓O的直徑,∠AOC=80°,∠BOD=20°,點P為直徑AB上任意一點,則PC+PD的最小值是3.

分析 先設圓O的半徑為r,由圓O的面積為3π求出r的值,再作點C關于AB的對稱點C′,連接OC′,DC′,則DC′的長即為PC+PD的最小值,由軸對稱的性質得出∠AOC′的度數,故可得出∠BOC′的度數,再由銳角三角函數的定義即可得出DC′的長.

解答 解:設圓O的半徑為r,
∵⊙O的面積為3π,
∴3π=πr2,即r=$\sqrt{3}$.
作點C關于AB的對稱點C′,連接OC′,DC′,則DC′的長即為PC+PD的最小值,
∵∠AOC=80°,
∴∠AOC=∠AOC′=80°,
∴∠BOC′=100°,
∵∠BOD=20°,
∴∠DOC′=∠BOC′+∠BOD=100°+20°=120°,
∵OC′=OD,
∴∠ODC′=30°
∴DC′=2OD•cos30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3,即PC+PD的最小值為3.
故答案為:3.

點評 本題考查的是圓周角定理及軸對稱-最短路線問題,根據題意作出點C關于直線AB的對稱點是解答此題的關鍵.

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