Question

5．在平面直角坐標系中，已知A（2，4）、P（1，0），B為y軸上的動點，以AB為邊構造△ABC，使點C在x軸上，∠BAC=90°．M為BC的中點，則PM的最小值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，作AH⊥y軸于H，CE⊥AH于E．則四邊形CEHO是矩形，OH=CE=4，由△AHB∽△CEA，得$\frac{AH}{EC}$=$\frac{BH}{AE}$，推出$\frac{2}{4}$=$\frac{BH}{AE}$，推出AE=2BH，設BH=x則AE=2x，推出B（0，4-x），C（2+2x，0），由BM=CM，推出M（1+x，$\frac{4-x}{2}$），可得PM=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（x-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，由此即可解決問題．

解答 解：如圖，作AH⊥y軸于H，CE⊥AH于E．則四邊形CEHO是矩形，OH=CE=4，

∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°，
∴∠ABH+∠HAB=90°，∠HAB+∠EAC=90°，
∴∠ABH=∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴$\frac{AH}{EC}$=$\frac{BH}{AE}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{BH}{AE}$，
∴AE=2BH，設BH=x則AE=2x，
∴OC=HE=2+2x，OB=4-x，
∴B（0，4-x），C（2+2x，0）
∵BM=CM，
∴M（1+x，$\frac{4-x}{2}$），∵P（1，0），
∴PM=$\sqrt{{x}^{2}+（\frac{4-x}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{4}（x-\frac{4}{5}）^{2}+\frac{16}{5}}$，
∴x=$\frac{4}{5}$時，PM有最小值，最小值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
故答案為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、兩點間距離公式、二次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會添加輔助線，構造相似三角形解決問題，學會構建二次函數，利用二次函數的性質解決最值問題，屬于中考�？碱}型．