Question

17．如圖，AD=2，AB=4，∠DAB=45°，BD=BC，BD⊥BC，則AC=6．

Answer 1

分析 如圖，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F．首先求出DE、EB，再證明△EDB≌△FBC，推出BF=DE=$\sqrt{2}$，CF=EB=4-$\sqrt{2}$，推出AF=4+$\sqrt{2}$，在Rt△ACF中，根據(jù)AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$即可解決問題．

解答 解：如圖，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F．

在Rt△ADE中，∵AD=2，∠DAE=45°，∠AED=90°，
∴AE=ED=$\sqrt{2}$，∵AB=4，
∴BE=4-$\sqrt{2}$，
∵∠DBC=90°，
∴∠DBE+∠EDB=90°，∠CBF+∠DBE=90°，
∴∠EDB=∠CBF，
在△EDB和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EDB=∠CBF}\\{∠DEB=∠BFC=90°}\\{BD=BC}\end{array}\right.$，
∴△EDB≌△FBC，
∴BF=DE=$\sqrt{2}$，CF=EB=4-$\sqrt{2}$，
∴AF=4+$\sqrt{2}$，
在Rt△ACF中，AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{（4+\sqrt{2}）^{2}+（4-\sqrt{2}）^{2}}$=6．
故答案為6．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．