Question

4．已知E，F分別為正方形ABCD的邊BC，CD上的點，AF，DE相交于點G，當E，F分別為邊BC，CD的中點時，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．試探究下列問題：
（1）如圖1，若點E不是邊BC的中點，F不是邊CD的中點，且CE=DF，上述結論①，②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”，不需要證明）
（2）如圖2，若點E，F分別在CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時，上述結論①，②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程，若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，在（2）的基礎上，連接AE和EF，若點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）只要證明△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；
（2）只要證明△ADF≌△DCE（SAS），即可證得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可證得AF⊥DE；
（3）首先四邊形MNPQ是菱形，再證明∠HQG=90°，即可證得四邊形MNPQ是正方形．

解答 解：（1）上述結論①，②仍然成立，
理由：如圖1中，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CE}\\{∠ADC=∠BCD=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，
∵∠ADG+∠EDC=90°，
∴∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；
∴AF=DE，AF⊥DE．

（2）上述結論①，②仍然成立，
理由：如圖2中，

∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=CE}\\{∠ADC=∠BCD=90°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，
∵∠ADG+∠EDC=90°，
∴∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；
∴AF=DE，AF⊥DE．

（3）四邊形MNPQ是正方形．
理由：如圖3中，設MQ，DE分別交AF于點G，O，PQ交DE于點H，

∵點M，N，P，Q分別為AE，EF，FD，AD的中點，
∴MQ=PN=$\frac{1}{2}$DE，PQ=MN=$\frac{1}{2}$AF，MQ∥DE，PQ∥AF，
∴四邊形OHQG是平行四邊形，
∵AF=DE，
∴MQ=PQ=PN=MN，
∴四邊形MNPQ是菱形，
∵AF⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∴∠HQG=∠AOD=90°，
∴四邊形MNPQ是正方形．

點評 本題考查了正方形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，利用全等三角形的性質解決問題，屬于中考常考題型．