Question

2．我們知道，圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，對幾何圖形作出代數(shù)解釋和用幾何圖形的面積表示代數(shù)式恒等式是互逆的．課本上由拼圖用幾何圖形的面積來驗證了乘法公式，一些代數(shù)恒等式也能用這種形式表示，例如（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²就可以用圖1或圖2等圖形的面積表示：
（1）填一填：請寫出圖3代表的代數(shù)恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²；
（2）畫一畫：試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示：（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²；
（3）想一想：三種不同類型的長方形卡片（長寬如圖4所示），若現(xiàn)有A類4張，B類4張，C類2張，要拼成一個正方形，則應(yīng)多余出1張C型卡片；這樣的卡片拼法表示了一個兩數(shù)和的平方的幾何意義，這個兩數(shù)和的平方是（2m+n）²．

Answer 1

分析 （1）由題意，等號的左邊表示的是長方形的面積，等號的右邊表示的是長方形里面的小圖形的面積和；故問題可求．
（2）由（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²可知，圖形的兩個邊長為a+b和a+3b；里邊的小圖形有八個，一個面積為a²，4個面積為ab，3個面積為b²．
（3）假設(shè)應(yīng)多余出1張A類卡片，則這三類卡片的面積為3m²+4mn+2n²，此式不為完全平方式，即不能拼成一個正方形；假設(shè)應(yīng)多余出1張B型卡片，則這三類卡片的面積為4m²+3mn+2n²，此式不為完全平方式，即不能拼成一個正方形；假設(shè)應(yīng)多余出1張C類卡片，則這三類卡片的面積為4m²+4mn+n²，此式為完全平方式，即能拼成一個正方形．

解答 解：（1）由題意，可得：（a+a+b）（b+a+b）=ab+a²+b²+a²+ab+ab+b²+ab+ab，
整理，得：（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²．
故答案為：：（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²．
（2）由（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²可知，圖形的兩個邊長為a+b和a+3b；里邊的小圖形有八個，一個面積為a²，4個面積為ab，3個面積為b²．

（3）假設(shè)應(yīng)多余出1張A類卡片，則這三類卡片的面積為3m²+4mn+2n²，此式不為完全平方式，即不能拼成一個正方形；假設(shè)應(yīng)多余出1張B型卡片，則這三類卡片的面積為4m²+3mn+2n²，此式不為完全平方式，即不能拼成一個正方形；假設(shè)應(yīng)多余出1張C類卡片，則這三類卡片的面積為4m²+4mn+n²，此式為完全平方式，即能拼成一個正方形．
（2m+n）²=4m²+4mn+n²，
故答案為：C，（2m+n）²．

點評 本題考查了完全平分公式的幾何背景，本題的解答，須注意觀察圖形和等式的關(guān)系，規(guī)律：大長方形的面積=小圖形的面積和．