Question

10．將直角邊長(zhǎng)為4的等腰Rt△AOC放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C、A分別在x、y軸的正半軸上，一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C及點(diǎn)B（-2，0）． 
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作AB的平行線交AC于點(diǎn)E，連接AP，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，試用含x的代數(shù)式表示△APE的面積S，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而設(shè)此二次函數(shù)解析式為y=a（x+2）（x-4），再將點(diǎn)A（0，4）代入，進(jìn)而得解；
（2）首先根據(jù)PE∥AB，可以得出△PCE∽△BCA，進(jìn)而求出△PCE的面積，再用△PAC的面積減去△PCE的面積，據(jù)此即可得解．

解答 解：（1）由題意得，A（0，4），C（4，0），B（-2，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-4）
解得a=-$\frac{1}{2}$．∴y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+x+4；
（2）如圖，BC=4+2=6，OA=4，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×4$=12，
∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，∴$\frac{{S}_{△PCE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{{PC}^{2}}{B{C}^{2}}$，
即：$\frac{{S}_{△PCE}}{12}=\frac{（4-x）^{2}}{36}$，
∴S_△PCE=$\frac{1}{3}$（4-x）²=$\frac{1}{2}$ （4-x）×4-$\frac{1}{3}$（4-x）²
S=S_△PAC-S_△PCE=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$  （-2＜x＜4 ），
S=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{2}{3}$x+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（x-1）²+3
當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得出△PCE的面積是解題的關(guān)鍵．