Question

20．如圖，AB，AC為⊙O的弦，AB=AC，連接AO．
（1）如圖1，求證：∠OAC=∠OAB；
（2）如圖2，過點B作AC的垂線交⊙O于點D，連接CD，設AO的延長線交BD于點E，求證：BE=CD；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點F，G分別在CD，BD的延長線上，連接AG，AE，若CF•AG=3，∠GAB=45°+$\frac{1}{2}$∠GAE，∠B=50°，求△ACF的面積．

Answer 1

分析 （1）作直徑AD，根據弦相等，弧相等得：$\widehat{AC}=\widehat{AB}$，所以$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，則∠OAC=∠OAB；
（2）作輔助線，根據角平分線的性質得PE=EH，證明Rt△APE≌Rt△AHE，得AP=AH，所以PC=BH，再證明△DPC≌△EHB，可得結論；
（3）如圖3，作輔助線，構建△ACF的高線AH，設∠GAE=α，根據已知等式得α+20°=45°+$\frac{1}{2}$，求出α=50°，得∠GAC=30°，根據三角函數表示AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，代入△ACF面積公式進行計算即可．

解答 證明：（1）如圖1，延長AO交⊙O于D，
∵AC=AB，
∴$\widehat{AC}=\widehat{AB}$，
∵AD是⊙O的直徑，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠OAC=∠OAB；

（2）如圖2，過E作EH⊥AB于H，
∵BD⊥AC，∠OAC=∠OAB，
∴PE=EH，
∵AE=AE，
∴Rt△APE≌Rt△AHE（HL），
∴AP=AH，
∵AC=AB，
∴AC-AP=AB-AH，
即PC=BH，
∵∠C=∠B，∠DPC=∠EHB=90°，
∴△DPC≌△EHB，
∴BE=CD；

（3）如圖3，過A作AH⊥CF，設BG與AC交于點P，
∵∠B=50°，BD⊥AC，
∴∠BAC=90°-50°=40°，
∵∠CAO=∠BAO，
∴∠CAO=∠BAO=20°，
設∠GAE=α，則α+20°=45°+$\frac{1}{2}$α，
α=50°，
∴∠GAC=30°，
在Rt△APG中，cos30°=$\frac{AP}{AG}$，
∴AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
∵AB=AC，∠B=∠C，∠AHC=∠APE=90°，
∴△ACH≌△ABP，
∴AH=AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG，
S_△ACF=$\frac{1}{2}$AH•CF=$\frac{1}{2}$AP•CF=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG×CF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題是圓的綜合題，考查了三角形全等的性質和判定、特殊角的三角函數、圓心角、弧、圓周角之間的關系等知識，第一問也可以連接半徑證明三角形全等得出結論；第三問有難度，得出AH=AP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AG是關鍵．