Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB+CD＜AD，AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，E是BC中點，∠AED=120°，求證：AB+CD+

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BC=AD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：在AD上分別截取AM=AB，DN=DC，（M、N均在AD上），連接EM，EN；先證明△ABE≌△AME和△NDE≌△CDE，證出EM=EN，再證∠MEN=60°，證出△MEN為等邊三角形，得出MN=EM=EN，即可證出結論．

解答： 證明：在AD上分別截取AM=AB，DN=DC，（M、N均在AD上），連接EM，EN；如圖所示：
∵AE平分∠BAD，DE平分∠CDA，
∴∠BAE=∠MAE，∠NDE=∠CDE，
在△ABE和△AME中，

AB=AM   ∠BAE=∠MAE   AE=AE

，
∴△ABE≌△AME（SAS），
∴BE=ME，∠AEB=∠AEM，
在△NDE和△CDE中，

DN=CD   ∠NDE=∠CDE   DE=DE

，
∴△NDE≌△CDE，
∴EN=EC，∠DEN=∠DEC，
∵E是BC中點，
∴BE=EC，
∴EM=EN，
∵∠MEN+∠AEM+∠DEN=120°①，
∠MEN+2∠AEM+2∠DEN=180°②，
∴①×2-②得：∠MEN=60°，
∴△MEN為等邊三角形，
∴MN=EM=EN，
∴MN=BE，
∴AB+CD+

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2

BC=AM+DN+MN=AD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的判定與性質；通過作輔助線證明三角形全等和等邊三角形是解決問題的關鍵．