Question

18．如圖，拋物線Y=-$\frac{4}{9}$x²-$\frac{4}{9}$mx+$\frac{8}{9}$m²（m＞0）與x軸相交于A，B兩點，點H是拋物線的頂點，以AB=6為直徑作圓G交y軸于E，F兩點，EF=4$\sqrt{2}$．
（1）求m的值；
（2）連結AH，求線段AH的長；
（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，且點P在x軸上方．若以P點為圓心的圓P與直線AH和x軸都相切，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據函數解析式，求得方程x²+mx-2m²=0，的解為x₁=m，x₂=-2m，據此得到A（-2m，0），B（m，0），再根據AB=3m，AB=6，即可得到m=2；
（2）當m=2時，得到拋物線的頂點式：y=-$\frac{4}{9}$（x+1）²+4，得到H（-1，4），進而得出GH=4，再根據AG=$\frac{1}{2}$AB=3，根據勾股定理，得AH=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
（3）以P點為圓心的圓P與直線AH和x軸都相切時，過P作PM⊥AH于M，則PM=PG，AM=AG=3，MH=2，再設PM=PG=r，則PH=4-r，根據∠PMH=90°，得出Rt△HPM中，PM²+MH²=PH²，據此得到方程r²+2²=（4-r）²，求得r=$\frac{3}{2}$，再根據H（-1，4），點P是拋物線對稱軸上的一點，即可得到P（-1，$\frac{3}{2}$）．

解答 解：（1）當y=0時，-$\frac{4}{9}$x²-$\frac{4}{9}$mx+$\frac{8}{9}$m²=0，
∴x²+mx-2m²=0，
解得x₁=m，x₂=-2m，
∴A（-2m，0），B（m，0），
∴AB=3m，
∵AB=6，
∴m=2；
解法二：
由拋物線y=-$\frac{4}{9}$x²-$\frac{4}{9}$mx+$\frac{8}{9}$m²可得，其對稱軸為x=-$\frac{m}{2}$，
∴G（-$\frac{m}{2}$，0），
∵x軸⊥EF，AB是直徑，EF=4$\sqrt{2}$，
∴EO=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$．
連結GE，
∵Rt△EOG中，GE=3，
∴由勾股定理得${3^2}=（\frac{m}{2}{）^2}+（2\sqrt{2}{）^2}$，
解得m=±2，
∵m＞0，
∴m=2；

（2）當m=2時，y=-$\frac{4}{9}$x²-$\frac{8}{9}$x+$\frac{32}{9}$=-$\frac{4}{9}$（x+1）²+4，
∴H（-1，4），
∴GH=4，
∵AG=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理，得AH=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；

（3）以P點為圓心的圓P與直線AH和x軸都相切時，
過P作PM⊥AH于M，則PM=PG，AM=AG=3，
∴MH=AH-AM=5-3=2，
設PM=PG=r，則PH=4-r，
∵∠PMH=90°，
∴Rt△HPM中，PM²+MH²=PH²，
即r²+2²=（4-r）²，
解得r=$\frac{3}{2}$，
∴PG=$\frac{3}{2}$，
又∵H（-1，4），點P是拋物線對稱軸上的一點，
∴P（-1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題屬于圓的綜合題，主要考查了圓的性質，垂徑定理，二次函數的圖象與性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，運用勾股定理列出一元二次方程，求得未知數的值．解題時注意方程思想的運用．