Question

12．如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AE是⊙O的直徑，AF是⊙O的弦，AF⊥BC，垂足為D．
（1）求證：∠BAE=∠CAD．
（2）若⊙O的半徑為4，AC=5，CD=2，求CF．

Answer 1

分析 （1）由圓周角定理得出∠ABE=90°，得出∠BAE+∠BEA=90°，由AF⊥BC得出∠ACD+∠CAD=90°，由圓周角定理得出∠BEA=∠ACD，即可得出結論；
（2）證明△ABE∽△ADC，得出對應邊成比例$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AC}$，求出BE，由圓周角定理$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，得出CF=BE=$\frac{16}{5}$即可．

解答 （1）證明：∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∵AF⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∵∠BEA=∠ACD，
∴∠BAE=∠CAD；
（2）解：∵∠ABE=∠ADC=90°，∠BEA=∠ACD，
∴△ABE∽△ADC，
∴$\frac{BE}{CD}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{BE}{2}=\frac{8}{5}$，
解得：BE=$\frac{16}{5}$，
由（1）得：∠BAE=∠CAD，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，
∴CF=BE=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質；熟練掌握圓周角定理，證明三角形相似求出BE是解決問題的關鍵．