Question

9．如圖．在△ABC中．CD是AB邊的中線．E是CD中點，AE=EF．連結BF，CF．
（1）求證：DB=CF；
（2）若AC=BC，求證：BDCF為矩形；
（3）在（2）的情況下，若∠ABC=60°，AB=2，求BDCF的面積．

Answer 1

分析 （1）由SAS證明△AED≌△FEC，得出對應邊相等AD=CF．再由DB=AD，即可得出結論．
（2）由全等三角形的性質得出∠ADE=∠FCE，證出DB∥CF，得出四邊形BDCF是平行四邊形，再由等腰三角形的三線合一性質得出CD⊥AB．即可得出結論；
（3）證明△ABC是等邊三角形，DB=$\frac{1}{2}$AB=1，得出BC=2DB=2，由勾股定理求出CD，即可得出四邊形的面積．

解答 （1）證明：∵CD是AB邊的中線，E是CD中點，
∴AD=DB，DE=CE，
在△AED和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}&{\;}\\{∠AED=∠FEC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△FEC（SAS）． 
∴AD=CF．
∵DB=AD，
∴DB=CF．
（2）解：由（1）得：△AED≌△FEC，
∴∠ADE=∠FCE，
∴DB∥CF，
∵DB=CF，
∴四邊形BDCF是平行四邊形，
∵AC=BC，D是AB的中點，
∴CD⊥AB．
∴∠CDB=90°，
∴四邊形BDCF是矩形．
（3）解：∵∠ABC=60°，AB=2，AC=BC，
∴△ABC是等邊三角形，DB=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴BC=2DB=2，
∴CD=$\sqrt{B{C}^{2}-D{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴四邊形BDCF的面積=DB•CD=1×$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質、等腰三角形的性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理等知識；本題綜合性強，證明三角形全等是解決問題的關鍵．