Question

3．如圖，等腰三角形ABC，∠ABC=90°，AB=AC，E在AB上，D是CE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD=AE．
（1）如圖1，若∠BCD：∠BCA=1：3，求證：CD=AC．
（2）在（1）條件下，如圖2，延長(zhǎng)AD，CB交于點(diǎn)F，試猜想DF，BF與BC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠BCA=45°，則由∠BCD：∠BCA=1：3可計(jì)算出∠BCD=15°，所以∠ACD=30°，∠BEC=75°，利用對(duì)頂角相等得∠AED=∠BEC=75°，由于AD=AE，則∠ADE=∠AED=75°，接著利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠DAC=75°，則∠ADC=∠DAC，然后根據(jù)等腰三角形的判定即可得到CD=CA；
（2）如圖2，先計(jì)算出∠DAB=30°，然后在Rt△ABF中利用正切定義得到tan∠FAB=tan30°=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，加上AB=CB，于是得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC．

解答 （1）證明：∵∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠BCA=45°，
∵∠BCD：∠BCA=1：3，
∴∠BCD=15°，
∴∠ACD=45°-15°=30°，∠BEC=90°-15°=75°，
∴∠AED=∠BEC=75°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∵∠DAC=180°-∠ADE-∠ACD=75°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA；
（2）解：BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC．理由如下：如圖2，
∵∠DAC=75°，
∴∠DAB=75°-45°=30°，
∵∠ABF=90°，
在Rt△ABF中，tan∠FAB=tan30°=$\frac{BF}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB=CB，
∴BF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形；在應(yīng)用全等三角形的性質(zhì)時(shí)主要是得到對(duì)應(yīng)角相等或?qū)��?yīng)線段相等．解決本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用等腰直角三角形的性質(zhì)．