Question

如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點。

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設（1）中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得△QAC的周長最�。咳舸嬖�，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）設此拋物線與直線在第二象限交于點D，平行于軸的直線與拋物線交于點M，與直線交于點N，連接BM、CM、NC、NB，是否存在的值，使四邊形BNCM的面積S最大？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）該拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4；（2）在該拋物線的對稱軸上存在點Q（，），使得△QAC的周長最小；（3）當m=-1時（在-1-＜m＜0內），四邊形BNCM的面積S最大

【解析】

試題分析：（1）A，B的坐標代入拋物線y=-x2+bx+c確定解析式．

（2）A，B關于對稱軸對稱，BC與對稱軸的交點就是點Q．

（3）四邊形BNCM的面積等于△MNB面積+△MNC的面積．

試題解析：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（1，O），B（-4，0）兩點，

將A、B兩點坐標代入拋物線方程，得到：-1+b+c=0，-16-4b+c=0

解得：b=-3，c=4

所以，該拋物線的解析式為：y=-x2-3x+4；

（2）存在

∵由前面的計算可以得到，C（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=-

∴由拋物線的對稱性，點A、B關于直線x=-對稱，

∴當QC+QA最小時，△QAC的周長就最小

∴當點Q在直線BC上時QC+QA最小，（1分）

此時：直線BC的解析式為y=x+4，

當x=時，y=，

∴在該拋物線的對稱軸上存在點Q（，），使得△QAC的周長最�。�

（3）由題意，M（m，-m2-3m+4），N（m，-m）

∴線段MN=-m2-3m+4-（-m）=-m2-2m+4=-（m+1）2+5

∵S四邊形BNCM=S△BMN+S△CMN=0．5MN×BO=2MN=-2（m+1）2+10

∴當m=-1時（在-1-＜m＜0內），四邊形BNCM的面積S最大．

考點：二次函數綜合題．