Question

7．已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD中的位置如圖，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3）．現(xiàn)有兩動點(diǎn)P、Q分別從A、C同時出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D運(yùn)動，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動，P運(yùn)動到D時整個運(yùn)動停止，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長5、面積是24、高BE的長是$\frac{24}{5}$；
（2）若點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒2個單位長度．當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)解析式及定義域；
（3）若點(diǎn)P的速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)Q的速度為每秒k個單位長度（0＜k≤2）．當(dāng)t=4秒時，△APQ恰好是一個等腰三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出OC=4，OD=3，在Rt△COD中，由勾股定理求出CD=5，求出AC=2OC=8，BD=2OD=6，即可求出菱形ABCD的面積（$\frac{1}{2}$×AC×BD），根據(jù)S=AD×BE，求出BE即可；
（2）求出AP=t，AQ=10-2t，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，根據(jù)△AQG∽△ABE求出QG=$\frac{48}{5}$-$\frac{48}{25}$t，代入S=$\frac{1}{2}$AP•QG求出即可；
（3）當(dāng)t=4秒時，求出AP=4，分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時，只有Q₁A=Q₁P，過點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q₁M交AC于點(diǎn)F，根據(jù)△AMF∽△AOD∽△CQ₁F求出FM=$\frac{3}{2}$，Q₁F=$\frac{33}{10}$，CQ₁=$\frac{4}{3}$QF=$\frac{22}{5}$，由CQ₁=4k，求出即可；②當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時，存在兩點(diǎn)Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
Ⅰ、若AP=AQ₂，根據(jù)CB+BQ₂=10-4=6得出4k=6，求出即可；
Ⅱ、若PA=PQ₃，過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，由△ANP∽△AEB，得$\frac{AN}{AE}=\frac{AP}{AB}$，求出AN=$\frac{28}{25}$，AQ₃=2AN=$\frac{56}{25}$，求出BC+BQ₃=$\frac{194}{25}$，由4k=$\frac{194}{25}$，求出即可

解答 解：（1）∵C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，0），（0，3），
∴OC=4，OD=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=5，
即菱形ABCD的邊長是5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC=5，AC⊥BD，AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形ABCD的面積是$\frac{1}{2}$×AC×BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
∴24=AD×BE，
∴BE=$\frac{24}{5}$；
故答案為：5，24，$\frac{24}{5}$．

（2）由題意，得AP=t，AQ=10-2t，
如圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得：
△AQG∽△ABE，
∴$\frac{QG}{BE}=\frac{QA}{AB}$，
∴QG=$\frac{48}{5}-\frac{48}{25}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$AP•QG=$\frac{1}{2}$•t•（$\frac{48}{5}$-$\frac{48}{25}$t），
S=-$\frac{24}{25}$t²+$\frac{24}{5}$t（$\frac{5}{2}$≤t≤5）；

（3）當(dāng)t=4秒時，
∵點(diǎn)P的速度為每秒1個單位，
∴AP=4，
①當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時，
∵PQ≥BE＞PA，
∴只存在點(diǎn)Q₁，使Q₁A=Q₁P，
如圖2，過點(diǎn)Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點(diǎn)M，Q₁M交AC于點(diǎn)F，
則AM=$\frac{1}{2}$AP=2，
∵△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，
∴$\frac{FM}{AM}=\frac{F{Q}_{1}}{C{Q}_{1}}=\frac{OD}{AO}$=$\frac{3}{4}$，
∴FM=$\frac{3}{2}$，
∴Q₁F=MQ₁-FM=$\frac{33}{10}$，
∴CQ₁=$\frac{4}{3}$QF=$\frac{22}{5}$，
由CQ₁=4k，
∴k=$\frac{11}{10}$；
②當(dāng)點(diǎn)Q在BA上時，存在兩點(diǎn)Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
Ⅰ、若AP=AQ₂，如圖3，
CB+BQ₂=10-4=6．由4k=6，得k=$\frac{3}{2}$；
Ⅱ、若PA=PQ₃，如圖4，
過點(diǎn)P作PN⊥AB，垂足為N，
由△ANP∽△AEB，得$\frac{AN}{AE}=\frac{AP}{AB}$，
∵AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∴AN=$\frac{28}{25}$，
∴AQ₃=2AN=$\frac{56}{25}$，
∴BC+BQ₃=10-$\frac{56}{25}$=$\frac{194}{25}$，由4k=$\frac{194}{25}$，
得k=$\frac{97}{50}$．
綜上所述，當(dāng)t=4秒，使得△APQ為等腰三角形的k的值為$\frac{11}{10}$或$\frac{3}{2}$或$\frac{97}{50}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，菱形性質(zhì)的應(yīng)用，查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，難度偏大，分類討論思想是解本題的難點(diǎn)．