Question

2．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，點D是直徑AB垂直平分線上一點（C，D在AB的兩側），∠ADB=α．
（1）如圖1，當α=90°，AC=4，BC=2，則CD=3$\sqrt{2}$；
（2）如圖2，當α=60°，AC=4，CD=2$\sqrt{13}$，求BC的長；
（3）如圖3，當α=30°，AB=2，則線段CD的最大值=3+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）先根據勾股定理求出AB，再利用垂直平分線得出AD=BD，進而求出BD，最后用勾股定理即可得出結論；
（2）先判斷出CE=BC，AE=CD，再構造出含30°的直角三角形，建立方程求解即可；
（3）先判斷出CD最大是必過圓心，再用特殊直角三角形即可求出結論．

解答 解：（1）如圖1，

過點D作DE⊥CB交CB延長線于E，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴∠BCD=∠BAD=45°，
∴DE=CE=BC+BE=2+BE，
在Rt△ABC中，AC=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵點D是AB垂直平分線上，
∴AD=BD，
在Rt△ABD中，BD=AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{10}$，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{10}$，
∴BE²+DE²=BD²，
∴BE²+（2+BE）²=10，
∴BE=1，∴CE=3，
∴CD=$\sqrt{2}$CE=3$\sqrt{2}$，
故答案為：3$\sqrt{2}$；
（2）如圖2，將線段繞BC點B逆時針旋轉60°，連接CE，AE，
∵點D是AB垂直平分線上，
∴AD=BD，
∵∠ADB=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴AB=BD，∠ABD=60°，
∴∠ABE=∠DBC，
在△ABE和△DBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴CE=BC，AE=CD=2$\sqrt{13}$，∠BCE=60°，
過點E作EF⊥AC交AC延長線于F，
∵∠BCF=90°，
∴∠ECF=30°，
在Rt△CEF中，EF=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$BC，CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴AF=AC+CF=4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
在Rt△AEF中，根據勾股定理得，AF²+EF²=AE²，
∴（4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC）²+（$\frac{1}{2}$BC）²=52，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
（3）如圖3，當CD最大時，CD過圓心O，連接DO并延長交圓于C'，
即：DC'就是最大的CD，
∵點D是直徑AB的垂直平分線上，
∴∠AOD=∠AOC'=90°，連接C'A，過點D作DE⊥C'A交C'A的延長線于E，
在Rt△AOC'中，OA=OC'=$\frac{1}{2}$AB=1，
∴AC'=$\sqrt{2}$，∠AC'D=45°，
∴C'D=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$C'E=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+AE），
在△ADC'中，∠ADC'=$\frac{1}{2}$∠ADB=15°，
∴∠DAE=∠AC'D+∠ADC'=60°，
∴DE=$\sqrt{3}$AE=AE+AC=AE+$\sqrt{2}$，
∴AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1），
∴C'D=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$+AE）=$\sqrt{2}$[$\sqrt{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1）]=3+$\sqrt{3}$，
故答案為：3+$\sqrt{3}$．

點評 此題是圓的綜合題，主要考查了垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，直角三角形的性質，特殊的直角三角形的性質，解本題的關鍵是作出輔助線，構造出含30°的直角三角形，將AC和CD轉化到同一個三角形中，是解本題的難點．