Question

17．如圖1，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，以AB為邊向外做等邊△ABE，直線CE與直線AD交于點F
（1）若AF=10，DF=3，試求EF的長；
（2）若以AB為邊向內作等邊△ABE，其它條件均不變，請用尺規作圖補全圖2（保留作圖痕跡），找出EF、AF、DF三者的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）連接BF，在FE上截取FH=BF，連接BH，易證△ABF≌△ACF，即可求得BF=CF、∠ACF=∠ABF，進而可以求證△EBH≌△ABF，即可求得EH=AF，即可求得EF的長．
（2）結論：EF=AF+2DF．證明方法類似（1）．

解答 （1）解：連接BF，在FE上截取FH=BF，連接BH，

∵AB=AC，AD是BC中線，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AC=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠BFH=∠EAB=60°，
∴△BFH為等邊三角形，
∴∠FBH=∠EBA=60°，
∴∠ABF=∠EBH，
在△EBH和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠ABF=∠EBH}\\{HB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF=10，∠BEH=∠BAF，
∴∠AFE=∠ABE=60°，
∴∠AFB=120°，∠BFD=60°，∠FBD=30°，
∴BF=2DF=6，
∴HF=BF=6，
∴EF=EH+HF=16．

（2）補全的圖如圖所示，結論：EF=AF+2DF．理由如下：

連接BF，在FE上截取FH=BF，連接BH，
∵AB=AC，AD是BC中線，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABF和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AF=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACF（SAS），
∴BF=CF，∠ACF=∠ABF，
∵AC=AC=AE，
∴∠ACF=∠AEF，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠BFH=∠EAB=60°，
∴△BFH為等邊三角形，
∴∠FBH=∠EBA=60°，
∴∠ABF=∠EBH，
在△EBH和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EB=AB}\\{∠ABF=∠EBH}\\{HB=FB}\end{array}\right.$，
∴△EBH≌△ABF（SAS），
∴EH=AF，∠BEH=∠BAF，
∴∠AFE=∠ABE=60°，
∴∠AFB=120°，∠BFD=60°，∠FBD=30°，
∴BF=2DF
∴EF=EH+HF=AF+BF=AF+2DF．
∴EF=AF+2DF．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質、等邊三角形的性質、等腰三角形的性質等知識，本題中求證△ABF≌△ACF和△EBH≌△ABF是解題的關鍵，學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．