Question

11．如圖，已知兩條射線OM∥CN，動線段AB的兩個端點A、B分別在射線OM、CN上，且∠C=∠OAB=108°，點F在線段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．
（1）求證：AB∥OC
（2）求∠BOE的度數；
（3）若平行移動AB，那么∠OBC與∠OFC的度數比是否隨著AB位置的變化而發生變化？若變化，找出變化規律；若不變，求出這個比值；
（4）在平行移動AB的過程中，是否存在某種情況，使∠OEC=2∠OBA？若存在，請求出∠OBA度數；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據兩直線平行，同旁內角互補可得求出∠AOC，再根據平行線的判定方法即可得證；
（2）根據角平分線的性質，即可得解；
（3）根據兩直線平行，內錯角相等可得∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根據角平分線的定義可得∠AOF=2∠AOB，從而得到比值不變；
（4）設∠OBA=x，表示出∠OEC，然后利用三角形的內角和定理表示出∠AOB、∠COE，再根據角平分線的定義根據∠AOB+∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC列出方程求解即可．

解答 （1）證明：∵OM∥CN，∠C=∠OAB=108°，
∴∠COA=72°，
則∠BAO+∠AOC=180°，
∴AB∥CO；

（2）解：∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，
∴∠AOB=∠BOF，∠FOE=∠EOC，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=36°；

（3）解：∵OM∥CN，
∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，
∵OB平分∠AOF，
∴∠AOF=2∠AOB，
∴∠OFC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=$\frac{1}{2}$；

（4）解：設∠OBA=x，則∠OEC=2x，
在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x，
在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x，
∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，
∴∠COE+∠AOB=$\frac{1}{2}$∠COF+$\frac{1}{2}$∠AOF=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×72°=36°，
∴72°-x+72°-2x=36°，
解得x=36°，
即∠OBA=36°，
此時，∠OEC=2×36°=72°，
∠COE=72°-2×36°=0°，
點C、E重合，
所以，不存在．

點評 本題考查了平行線的判定與性質，角平分線的定義，解題的關鍵在于性質和判定方法的綜合運用，難點在于（4）根據角度之間的關系列出方程．