Question

20．如圖，在△ABC中，∠C=90°，其三邊的長之比為3：4：5，按圖中的方法將它對折，使折痕（圖中虛線）過其中的一個頂點，且使該頂點所在兩邊重合，若不重疊的部分△ADE的面積是6cm²，則△ABC的面積是24或54cm²．

Answer 1

分析 分兩種情形討論即可：①當BC：AC：AB=3：4：5時，設BC=3k，AC=4k，AB=5k，則BD=BC=3k，AD=2k，設DE=EC=x，在Rt△ADE中，根據AD²+ED²=AE²，得到4k²+x²=（4k-x）²，得到x=$\frac{3}{2}$k，由$\frac{1}{2}$•AD•DE=6，得$\frac{1}{2}$•2k•$\frac{3}{2}$k=6，可得k²=4，再求出△ABC面積即可．②當BC：AC：AB=4：3：5時，設BC=4k，AC=3k，AB=5k，則BD=BC=4k，AD=k，設DE=EC=x，方法類似．

解答 解：①當BC：AC：AB=3：4：5時，
設BC=3k，AC=4k，AB=5k，則BD=BC=3k，AD=2k，設DE=EC=x，
在Rt△ADE中，∵AD²+ED²=AE²，
∴4k²+x²=（4k-x）²，
∴x=$\frac{3}{2}$k，
∵$\frac{1}{2}$•AD•DE=6，
∴$\frac{1}{2}$•2k•$\frac{3}{2}$k=6，
∴k²=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3k×4k=6k²=24cm²．
②當BC：AC：AB=4：3：5時，設BC=4k，AC=3k，AB=5k，則BD=BC=4k，AD=k，設DE=EC=x，
在Rt△ADE中，∵AD²+ED²=AE²，
∴k²+x²=（3k-x）²，
∴x=$\frac{4}{3}$k，
∵$\frac{1}{2}$•AD•DE=6，
∴$\frac{1}{2}$•k•$\frac{4}{3}$k=6，
∴k²=9，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3k×4k=6k²=54cm．
綜上所述，△ABC的面積為24cm²或54cm²．
故答案為24或54．

點評 本題考查翻折變換、直角三角形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．