Question

4．如圖1，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A（-1，4），直線y=-x+b（b≠0）與雙曲線y=$\frac{k}{x}$在第二、四象限分別相交于P，Q兩點，與x軸、y軸分別交于C，D兩點，
（1）當b=-3時，求P點坐標；
（2）連接OQ，存在實數(shù)b，使得S_△ODQ=S_△OCD，請求出b的值；
（3）如圖2，當b=-3時，直線y=a（a＞0）與直線PQ交于點M，與雙曲線交于點N（不同于M），若PM=PN，則a的值是4．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法可求得直線和反比例函數(shù)的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得P點坐標；
（2）用b可分別表示出C、D的坐標，則條件可求得D為CQ的中點，則可用b表示出Q點的坐標，代入反比例函數(shù)解析式可求得b的值；
（3）由直線和反比例函數(shù)解析式可用a表示出M、N的坐標，過P作PH⊥MN于點H，則可知H為MN的中點，則可得到關(guān)于a的方程可求得a的值．

解答 解：
（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點A（-1，4），
∴k=-1×4=-4，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-$\frac{4}{x}$，
當b=-3時，則直線解析式為y=-x-3，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{x}}\\{y=-x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$，
∵P在第二象限，Q在第四象限，
∴P（-4，1）；

（2）如圖1，過點Q作QG⊥x軸于點G，

在y=-x+b中，令y=0可得x=b，令x=0可得y=b，
∴C（b，0），D（0，b），
∴OC=-b，OD=-b，
∵S_△ODQ=S_△OCD，
∴$\frac{1}{2}$OD•OG=$\frac{1}{2}$OD•OC，
∴OG=OC=-b，即O為CG的中點，
∴GQ=2OD=-2b，
∴Q（-b，2b），
∵點Q在反比例函數(shù)y=-$\frac{4}{x}$圖象上，
∴-2b²=-4，解得b=$\sqrt{2}$（舍去）或b=-$\sqrt{2}$，
即b的值為-$\sqrt{2}$；

（3）如圖2，過點P作PH⊥MN于點H，

在y=-x-3中令y=a可得x=-3-a，在y=-$\frac{4}{x}$中，令y=a可得x=-$\frac{4}{a}$，
∵P（-4，1），
∴H（-4，a），
∵PM=PN，
∴MH=NH，
∴-4-（-3-a）=-$\frac{4}{a}$-（-4），解得a=1或a=4，
當a=1時，M、N、P三點重合，舍去，
∴a=4，
故答案為：4．

點評 本題為反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點、三角形的面積、三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識．在（1）中出兩函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，在（2）中得出D為CQ的中點是解題的關(guān)鍵，在（3）中用a表示出M、N的坐標是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．