Question

16．已知：過點A（3，0）直線l₁：y=x+b與直線l₂：y=-2x交于點B．拋物線y=ax²+bx+c的頂點為B．
（1）求點B的坐標；
（2）如果拋物線y=ax²+bx+c經過點A，求拋物線的表達式；
（3）直線x=-1分別與直線l₁，l₂交于C，D兩點，當拋物線y=ax²+bx+c與線段CD有交點時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入直線l₁，求出其函數表達式，聯立直線l₁、l₂表達式成方程組，解方程組即可得出點B的坐標；
（2）設拋物線y=ax²+bx+c的頂點式為y=a（x-h）²+k，由拋物線的頂點坐標即可得出y=a（x-1）²-2，再根據點C的坐標利用待定系數法即可得出結論；
（3）根據兩直線相交，求出點C、D的坐標，將其分別代入y=a（x-1）²-2中求出a的值，由此即可得出拋物線y=ax²+bx+c與線段CD有交點時，a的取值范圍．

解答 解：（1）將A（3，0）代入直線l₁：y=x+b中，
0=3+b，解得：b=-3，
∴直線l₁：y=x-3．
聯立直線l₁、l₂表達式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=x-3}\\{y=-2x}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴點B的坐標為（1，-2）．
（2）設拋物線y=ax²+bx+c的頂點式為y=a（x-h）²+k，
∵拋物線y=ax²+bx+c的頂點為B（1，-2），
∴y=a（x-1）²-2，
∵拋物線y=ax²+bx+c經過點A，
∴a（3-1）²-2=0，解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的表達式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2．
（3）∵直線x=-1分別與直線l₁，l₂交于C、D兩點，
∴C、D兩點的坐標分別為（-1，-4），（-1，2），
當拋物線y=ax²+bx+c過點C時，a（-1-1）²-2=-4，
解得：a=-$\frac{1}{2}$；
當拋物線y=ax²+bx+c過點D時，a（-1-1）²-2=2，
解得：a=1．
∴當拋物線y=ax²+bx+c與線段CD有交點時，a的取值范圍為-$\frac{1}{2}$≤a≤1且a≠0．

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、兩直線相交與平行、一次函數圖象上點的坐標特征以及二次函數的三種形式，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出直線l₁的表達式；（2）將二次函數一般式改寫為頂點式；（3）分別帶人C、D點的坐標求出a值．