Question

7．如圖1，已知△ABC中，∠ABC=45°，點E為AC上的一點，連接BE，在BC上找一點G，使得AG=AB，AG交BE于K．
（1）若∠ABE=30°，且∠EBC=∠GAC，BK=4，求AC的長度．
（2）如圖2，過點A作DA⊥AE交BE于點D，過D、E分別向AB所在的直線作垂線，垂足分別為點M、N，且NE=AM，若D為BE的中點，證明：$\sqrt{5}$DG=2AG．
（3）如圖3，將（2）中的條件“若D為BE的中點”改為“若點K為AG的中點”，其他條件不變，請直接寫出$\frac{AE}{BC}$的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AH⊥BG于H．在Rt△ABK中，求出AK、AB，在Rt△ABH中，求出AH，在Rt△AHC中，證明∠C=30°，即可推出AC=2AH，由此解決問題．
（2）如圖2中，連接EG．由△MAD≌△NEA，推出AD=AE再證明△BAD≌△GAE，推出BD=EG=DE，∠ABD=∠AGE，推出DGE是等腰直角三角形，設AD=AE=a，求出DG、AG即可解決問題．
（3）如圖3中，作AH⊥BE，連接EG．由△AKH≌△GKE，推出EG=AH，HK=EK，設KH=EK=a，則AH=HE=EG=2a，BE=6a，AD=AE=2$\sqrt{2}$a，在Rt△BEG中，BG=$\sqrt{（6a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{10}$a，由△ABD∽△ACG，得$\frac{BD}{GC}$=$\frac{AD}{AG}$，求出GC，即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，作AH⊥BG于H．

在Rt△ABK中，∵∠BAK=90°，∠ABK=30°，BK=4，
∴AK=$\frac{1}{2}$BK=2，AB=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵AB=AG，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠AGB=45°，∠CBE=∠CAG=15°，
∵∠AGB=∠C+∠CAG，
∴∠C=30°，
在Rt△AHC中，∵∠AHC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AH，
在Rt△ABH中，AH=BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\sqrt{6}$，
∴AC=2$\sqrt{6}$．

（2）如圖2中，連接EG．

∵DM⊥AB，EN⊥BA，
∴∠AMD=∠N=∠DAE=90°，
∴∠MAD+∠NAE=90°，∠NAE+∠NEA=90°，
∴∠MAD=∠NEA，
在△MAD和△NEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠AEN}\\{AM=NE}\\{∠AMD=∠N}\end{array}\right.$，
∴△MAD≌△NEA，
∴AD=AE，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠GAE，
在△BAD和△GAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=AG}\\{∠BAD=∠GAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△GAE，
∴BD=EG=DE，∠ABD=∠AGE，
∵∠AKB=∠EKG，
∴∠KEG=∠KAB=90°，
∴△DGE是等腰直角三角形，設AD=AE=a，
∴∠ADE=∠EDG=45°，
∴∠ADG=90°，
∴DE=BD=EG=$\sqrt{2}$a，DG=$\sqrt{2}$DE=2a，
在Rt△ADG中，AG=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}a$，
∴$\frac{DG}{AG}$=$\frac{2a}{\sqrt{5}a}$，
∴$\sqrt{5}$DG=2AG．

（3）如圖3中，作AH⊥BE，連接EG．

由（2）可知∠BEG=90°，BD=EG，
∵AH⊥BE，
∴∠AHK=∠KEG，
在△AKH和△GKE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AKH=∠EKG}\\{∠AKH=∠GEK}\\{AK=KG}\end{array}\right.$，
∴△AKH≌△GKE，
∴EG=AH，HK=EK，設KH=EK=a，則AH=HE=EG=2a，BE=6a，AD=AE=2$\sqrt{2}$a，
在Rt△BEG中，BG=$\sqrt{（6a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{10}$a，
∴AB=AG=2$\sqrt{5}$a，
∵∠BAD=∠GAC，∠ADB=∠AGC=135°，
∴△ABD∽△ACG，
∴$\frac{BD}{GC}$=$\frac{AD}{AG}$，
∴$\frac{2a}{GC}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{2\sqrt{5}a}$，
∴GC=$\sqrt{10}$a，
∴BC=BG+GC=3$\sqrt{10}$a，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}a}{3\sqrt{10}a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理、直角三角形30度角性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會利用參數解決問題，屬于中考壓軸題．