Question

12．如圖，直線l₁，l₂交于點C，直線l₁與x軸交于A；直線l₂與x軸交于B（3，0），與y軸交于D（0，3），已知直線l₁的函數解析式為y=2x+2．
（1）求直線l₂的解析式和交點C的坐標．
（2）將直線l₁向下平移a個單位使之經過B，與y軸交于E．
①求△CBE的面積；
②若點Q為y軸上一動點，當△EBQ為等腰三角形時，求出Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）設直線l₂的解析式為y=kx+b，把B（3，0），D（0，3）代入轉化為解方程組即可，再構建方程組求點C的坐標．
（2）①設平移后的直線的解析式為y=2x+m，利用待定系數法求出m，由AC∥BE，推出S_△CBE=S_△ABE，由此即可解決問題．由題意BE=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，當Q₁E=BE時，Q₁（0，-6-3$\sqrt{5}$），當EQ₂=Q₂B時，設EQ₂=Q₂B=x，在Rt△OBQ₂ 中，根據OB²+OQ₂²=BQ₂²，可得3²+（6-x）²=x²，求出可得Q₂坐標，當EB=EQ₃時，Q₃（0，3$\sqrt{5}$-6），當BE=BQ₄時，Q₄（6，0）．

解答 解：（1）設直線l₂的解析式為y=kx+b，把B（3，0），D（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為y=-x+3．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y=2x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴點C的坐標為（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）．

（2）①設平移后的直線的解析式為y=2x+m，
∵經過點B（3，0），
∴6+m=0，
∴m=-6，
∴平移后的直線的解析式為y=2x-6，
∴點E的坐標為（0，-6），
∵AC∥BE，
∴S_△CBE=S_△ABE=$\frac{1}{2}$×4×6=12．
②∵E（0，-6），B（3，0），
∴BE=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
當Q₁E=BE時，Q₁（0，-6-3$\sqrt{5}$），
當EQ₂=Q₂B時，設EQ₂=Q₂B=x，
在Rt△OBQ₂ 中，∵OB²+OQ₂²=BQ₂²，
∴3²+（6-x）²=x²，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴OQ₂=6-$\frac{15}{4}$=$\frac{9}{4}$，
∴Q₂（0，-$\frac{9}{4}$），
當EB=EQ₃時，Q₃（0，3$\sqrt{5}$-6），
當BE=BQ₄時，Q₄（6，0）．
綜上所述，滿足條件的點P（0，-6-3$\sqrt{5}$）或（0，-$\frac{9}{4}$）或（0，3$\sqrt{5}$-6）或（0，6）．

點評 本題考查一次函數綜合題、待定系數法、等腰三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，需要用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．