Question

12．已知：點A（0，4），B（0，-6），C為x軸正半軸上一點，且滿足∠ACB=45°，則點C坐標為（12，0）．

Answer 1

分析 構造含有90°圓心角的⊙P，則⊙P與x軸的交點即為所求的點C．根據△PBA為等腰直角三角形，可得OF=PE=5，根據勾股定理得：CF=$\sqrt{P{C}^{2}-P{F}^{2}}$=7，進而得出OC=OF+CF=5+7=12，即可得到點C坐標為（12，0）．

解答 解：設線段BA的中點為E，
∵點A（0，4），B（0，-6），
∴AB=10，E（0，-1）．
如圖所示，過點E在第四象限作EP⊥BA，且EP=$\frac{1}{2}$AB=5，則
易知△PBA為等腰直角三角形，∠BPA=90°，PA=PB=5$\sqrt{2}$；
以點P為圓心，PA（或PB）長為半徑作⊙P，與y軸的正半軸交于點C，
∵∠BCA為⊙P的圓周角，
∴∠BCA=$\frac{1}{2}$∠BPA=45°，即則點C即為所求．
過點P作PF⊥x軸于點F，則OF=PE=5，PF=OE=1，
在Rt△PFC中，PF=1，PC=5$\sqrt{2}$，
由勾股定理得：CF=$\sqrt{P{C}^{2}-P{F}^{2}}$=7，
∴OC=OF+CF=5+7=12，
∴點C坐標為（12，0），
故答案為（12，0）．

點評 本題主要考查了坐標與圖形性質、圓周角定理、勾股定理等知識的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造圓周角以及直角三角形，由45°的圓周角聯想到90°的圓心角是解題的突破口，也是本題的難點所在．