Question

4．模型建立：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．
（1）求證：BE=CD；
（2）模型應用：
①已知直線l₁：y=-$\frac{1}{7}$x-4與y軸交于A點，將直線l₁繞著A點順時針旋轉45°至l₂，如圖2，求l₂的函數解析式；
②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（-8，6），A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，點D是直線y=-2x-4上的一點，若△APD是不以點A為直角頂點的等腰Rt△，請求出點D的坐標．

Answer 1

分析 （1）先根據△ABC為等腰直角三角形得出CB=CA，再由AAS定理可知△ACD≌△CBE；
（2）①如圖2中，設直線l₁交x軸于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y軸于F．首先證明四邊形PEOF是正方形，求出點P的坐標，利用待定系數法即可解決問題．
（3）當點D為直角頂點，分點D在直線PA的上方或下方兩種情況；點P為直角頂點，顯然此時點D位于直線AP的上方，由此可得出結論．

解答 （1）證明：如圖1中，

∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD與△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠E}\\{∠ACD=∠EBC}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如圖2中，設直線l₁交x軸于B，作BP⊥AC于P，作PE⊥OB于E，PF⊥y軸于F．

由（1）可知△PBE≌△PAF，
∴BE=AF，PE=PF，設PE=PF=x，
∵∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，
∴四邊形PEOF是矩形，
∵PE=PF，
∴四邊形PEOF是正方形，
∴OE=OF=x，
∵B（-28，0），A（0，-4），
∴x+4+x=28，
∴x=12，
∴P（-12，12），設直線l₂的解析式為y=kx+b則有$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-12k+b=12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
∴直線l₂的解析式為y=-$\frac{4}{3}$x-4．

②如圖3中，

當點D位于直線y=-2x-4上時，分兩種情況：
①點D為直角頂點，分兩種情況，
當點D′在直線PA上方時，過D′作x軸的平行線EF，交直線OA于F，交直線BC于E，設D′（x，-2x-4）；
則OF=-2x-4，AF=（-2x-4）-6=-2x-10，D′E=EF-D′F=x+8；
則△AD′F≌△D′PE，得D′E=AF，即：
-2x-10=x+8，x=-6；
∴D′（-6，8）；
當點D在直線PA下方時，同法可得D（-2，0）
②如圖4中，點P為直角頂點，顯然此時點D″位于矩形AOCB的外部，作D″E⊥BC于E．

設點D（x，-2x-4），則CE=-2x-4，BE=-2x-4-6=-2x-10；
同（1）可得，△APB≌△PDF，
∴AB=PE=8，PB=D″E=-8-x；
∴BE=PE-PB=8-（-8-x）=16+x；
聯立兩個表示BF的式子可得：
-2x-10=16+x，即x=-$\frac{26}{3}$；
∴D″（-$\frac{26}{3}$，$\frac{40}{3}$）；
綜上所述，滿足條件的點D的坐標為（-6，8）或（-2，0）或（-$\frac{26}{3}$，$\frac{40}{3}$）．

點評 本題屬于一次函數綜合題，主要考查了點的坐標、矩形的性質、待定系數法、等腰直角三角形的性質以及全等三角形等相關知識的綜合應用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，運用全等三角形的性質進行計算，需要考慮的多種情況，解題時注意分類思想的運用．