Question

20．在美國(guó)的一堂數(shù)學(xué)課上，老師給同學(xué)們布置了一道“任意等分一條線段”的題．其中有一個(gè)學(xué)生用了一種與眾不同的方法．他在紙上做出了如圖所示的一個(gè)圖形，他以老師給的已知線段AB為一條邊作矩形ABCD，設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O₂，作O₂P₂⊥AB，則垂足P₂就是AB的二等分點(diǎn)：連接CP₂交BD于點(diǎn)O₃，作O₃P₃⊥AB，則垂足P₃就是AB的三等分點(diǎn)；再依次做下去，就得到AB的四等分點(diǎn)，…n等分點(diǎn)．你能用所學(xué)過的知識(shí)解釋其中的緣由嗎？

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到∠DAB=90°，AB=CD，DO₂=BO₂，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到BP₂=AP₂，于是得到垂足P₂就是AB的二等分點(diǎn)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{B{P}_{2}}{CD}$=$\frac{1}{2}$，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AP₃=2BP₃，于是得到垂足P₃就是AB的三等分點(diǎn)；于是得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，AB=CD，DO₂=BO₂，
∵O₂P₂⊥AB，
∴O₂P₂∥AB，
∴$\frac{B{O}_{2}}{D{O}_{2}}=\frac{B{P}_{2}}{A{P}_{2}}$=1，
∴BP₂=AP₂，
∴垂足P₂就是AB的二等分點(diǎn)，
∵AB∥CD，
∴△CDO₃∽△BP₂O₃，
∴$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{B{P}_{2}}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∵O₃P₃⊥AB，
∴O₃P₃∥AD，
∴$\frac{B{P}_{3}}{A{P}_{3}}$=$\frac{B{O}_{3}}{D{O}_{3}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AP₃=2BP₃，
∴垂足P₃就是AB的三等分點(diǎn)；
∴再依次做下去，就得到AB的四等分點(diǎn)，…n等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理．矩形的性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．