Question

14．定義：若三角形三個內角的度數分別是x、y和z，滿足x²+y²=z²，則稱這個三角形為勾股三角形．
（1）根據上述定義，“直角三角形是勾股三角形”是真命題還是假命題；
（2）已知一勾股三角形三個內角從小到大依次為x、y和z，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如圖，△ABC中，AB=$\sqrt{6}$，BC=2，AC=1+$\sqrt{3}$，求證：△ABC是勾股三角形．

Answer 1

分析 （1）直接根據“勾股三角形”的定義，判斷得出即可；
（2）利用已知得出等量量關系組成方程組，進而求出x+y的值；
（3）過B作BH⊥AC于H，設AH=x，利用勾股定理首先得出AH=BH=$\sqrt{3}$，HC=1，進而得出∠A=45°，∠C=60°，∠B=75°，即可得出結論．

解答 （1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命題；理由如下：
∵對于任意的三角形，設其三個角的度數分別為x°、y°和z°，
若滿足x²+y²=z²，則稱這個三角形為勾股三角形，
∴無法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命題；
（2）解：由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{x+y+z=180}&{\;}\\{xy=2160}&{\;}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={z}^{2}}&{\;}\end{array}\right.$，
解得：x+y=102；
（3）證明：過B作BH⊥AC于H，如圖所示：
設AH=x
Rt△ABH中，BH=$\sqrt{6-{x}^{2}}$，
Rt△CBH中，（$\sqrt{6-{x}^{2}}$）²+（1+$\sqrt{3}$-x）²=4，
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴AH=BH=$\sqrt{3}$，HC=1，
∴∠A=∠ABH=45°，
∴tan∠HBC=$\frac{HC}{BH}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠HBC=30°，
∴∠BCH=60°，∠B=75°，
∴45²+60²=75²
∴△ABC是勾股三角形．

點評 此題主要考查了新定義、多元方程組解法、勾股定理和銳角三角函數關系，利用勾股定理得出AH，HC的長是解題關鍵．