Question

19．△ABC，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，一條直線DE與邊AC相交于點D，與邊AB相交于點E．

（1）如圖①，若DE將△ABC分成周長相等的兩部分，則AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）
（2）如圖②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，求AD；
（3）如圖③，若DE將△ABC分成周長、面積相等的兩部分，且DE∥BC，則a、b、c滿足什么關系？

Answer 1

分析 （1）由DE將△ABC分成周長相等的兩部分，于是得到AD+AE=CD+BC+BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）=$\frac{1}{2}$（a+b+c）；
（2）設AD=x，AE=6-x，根據三角形的面積公式列方程得到$\frac{1}{2}$x（6-x）•$\frac{4}{5}$=3，解得x₁=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，即可得到結論；
（3）由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根據相似三角形的性質得到$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，由$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$即可得到結論．

解答 解：（1）∵DE將△ABC分成周長相等的兩部分，
∴AD+AE=CD+BC+BE=$\frac{1}{2}$（AB+AC+BC）=$\frac{1}{2}$（a+b+c）；

（2）設AD=x，AE=6-x，
∵S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•AE•sinA=3，
即：$\frac{1}{2}$x（6-x）•$\frac{4}{5}$=3，
解得：x₁=$\frac{6+\sqrt{6}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$，
∴AD=$\frac{6-\sqrt{6}}{2}$；

（3）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，AE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$b$+\frac{\sqrt{2}}{2}$c=$\frac{1}{2}$（a+b+c），
∴$\frac{a}{b+c}$=$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，三角形的周長和面積的計算，熟練掌握相似三角形的判定和性質是解題的關鍵．