Question

在平面直角坐標系中，反比例函數與二次函數y＝k(x2＋x－1)的圖象交于點A(1,k)和點B(－1,－k)．

（1）當k＝－2時，求反比例函數的解析式；

（2）已知經過原點O的兩條直線AB與CD分別與雙曲線（k＞0）交于A、B和C、D，那么AB與CD互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形．

問：平行四邊形ABCD能否成為矩形？能否成為正方形？若能，請說明直線AB、CD的位置關系；若不能，請說明理由

（3）設二次函數的圖象的頂點為Q，當△ABQ是以AB為斜邊的直角三角形時，求k的值．

Answer 1

（1）因為反比例函數的圖象過點A(1,k)，所以反比例函數的解析式是．

當k＝－2時，反比例函數的解析式是。

（2）當AB、CD關于直線y＝x對稱時，AB與CD互相平分且相等，ABCD是矩形．……(2分)

因為A、C可以無限接近坐標系但是不能落在坐標軸上，所以AB與CD無法垂直，因此四邊形ABCD不能成為正方形．

（3）拋物線的頂點Q的坐標是，A、B關于原點O中心對稱，

當OQ＝OA＝OB時，△ABQ是以AB為直徑的直角三角形．

由OQ2＝OA2，得．

解得（如圖2），