Question

如圖，經過點A（0，﹣6）的拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于B（﹣2，0），C兩點．

（1）求此拋物線的函數關系式和頂點D的坐標；

（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y₁，若新拋物線y₁的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；

（3）在（2）的結論下，新拋物線y₁上是否存在點Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形？請分析所有可能出現的情況，并直接寫出相對應的m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）將A（0，﹣6），B（﹣2，0）代入y=x²+bx+c，

得：，

解得：，

∴y=x²﹣2x﹣6，

∴頂點坐標為（2，﹣8）；

（2）將（1）中求得的拋物線向左平移1個單位長度，再向上平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線y₁=（x﹣2+1）²﹣8+m，

∴P（1，﹣8+m），

在拋物線y=x²﹣2x﹣6中易得C（6，0），

∴直線AC為y₂=x﹣6，

當x=1時，y₂=﹣5，

∴﹣5＜﹣8+m＜0，

解得：3＜m＜8；

（3）∵A（0，﹣6），B（﹣2，0），

∴線段AB的中點坐標為（﹣1，﹣3），直線AB的解析式為y=﹣3x﹣6，

∴過AB的中點且與AB垂直的直線的解析式為：y=x﹣，

∴直線y=x﹣與x=1的交點坐標為（1，﹣），

∴此時的點P的坐標為（1，﹣），

∴此時向上平移了8﹣=個單位，

∴①當3＜m＜時，存在兩個Q點，可作出兩個等腰三角形；      

②當m=時，存在一個點Q，可作出一個等腰三角形；

③當＜m＜8時，Q點不存在，不能作出等腰三角形．