Question

7．已知：拋物線y=ax²-2（a-1）x+a-2（a＞0）．
（1）求證：拋物線與x軸有兩個交點；
（2）設拋物線與x軸有兩個交點的橫坐標分別為x₁，x₂，（其中x₁＞x₂）．若y是關于a的函數，且y=ax₂+x₁，求這個函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，結合函數的圖象回答：若使y≤-3a²+1，則自變量a的取值范圍為0＜a≤$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）先計算判別式的值，然后利用判別式的意義判斷拋物線與x軸有兩個交點；
（2）利用求根公式解方程得x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，于是得到y=a-1（a＞0）；
（3）利用圖象法解決問題：先畫出直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象，如圖，通過解方程得到a-1=-3a²+1可得到直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象的交點坐標為（-1，-2）、（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），然后觀察函數圖形得到當-1≤a≤$\frac{2}{3}$時，a-1≤-3a²+1，由于a＞0，于是得到a的取值范圍為0＜a≤$\frac{2}{3}$．

解答 （1）證明：∵△=4（a-1）²-4a（a-2）=4＞0，
∴拋物線與x軸有兩個交點；
（2）解：解方程得x=$\frac{2（a-1）±2}{2a}$，
∴x=1或x=1-$\frac{2}{a}$，
∵a＞0，x₁＞x₂，
∴x₁=1，x₂=1-$\frac{2}{a}$，
∴y=a（1-$\frac{2}{a}$）+1=a-1（a＞0）；
（3）解：畫出直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象，如圖，
解方程得到a-1=-3a²+1得a=-1或a=$\frac{2}{3}$，
即直線y=a-1和拋物線y=-3a²+1的圖象的交點坐標為（-1，-2）、（$\frac{2}{3}$，-$\frac{1}{3}$），
當-1≤a≤$\frac{2}{3}$時，a-1≤-3a²+1，
而a＞0，
∴a的取值范圍為0＜a≤$\frac{2}{3}$．
故答案為0＜a≤$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：對于二次函數y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數：△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．解決（3）小題的關鍵是求出直線與拋物線的交點坐標．