Question

17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．
（1）求線段CD的長；
（2）設△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并確定在運動過程中是否存在某一時刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．
（3）當t為何值時，△CPQ為等腰三角形？
（4）當t為何值時，△CPQ為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理可求出AB長，再用等積法就可求出線段CD的長．
（2）過點P作PH⊥AC，垂足為H，通過三角形相似即可用t的代數式表示PH，從而可以求出S與t之間的函數關系式；利用S_△CPQ：S_△ABC=9：100建立t的方程，解方程即可解決問題．
（3）可分三種情況進行討論：由CQ=CP可建立關于t的方程，從而求出t；由PQ=PC或QC=QP不能直接得到關于t的方程，可借助于等腰三角形的三線合一及三角形相似，即可建立關于t的方程，從而求出t．
（4）先用t表示出DP，CQ，CP的長，再分PQ⊥CD與PQ⊥AC兩種情況進行討論．

解答 解：（1）如圖1，

∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CD．
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8．
∴線段CD的長為4.8．
（2）①過點P作PH⊥AC，垂足為H，如圖2所示．
由題可知DP=t，CQ=t．
則CP=4.8-t．
∵∠ACB=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴$\frac{PH}{AC}=\frac{PC}{AB}$．
∴$\frac{PH}{8}=\frac{4.8-t}{10}$．
∴PH=$\frac{96}{25}-\frac{4}{5}$t．
∴S_△CPQ=$\frac{1}{2}$CQ•PH=$\frac{1}{2}$t（$\frac{96}{25}$-$\frac{4}{5}$t）=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{48}{25}$t．
②存在某一時刻t，使得S_△CPQ：S_△ABC=9：100．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×8=24，
且S_△CPQ：S_△ABC=9：100，
∴（-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{48}{25}$t）：24=9：100．
整理得：5t²-24t+27=0．
即（5t-9）（t-3）=0．
解得：t=$\frac{9}{5}$或t=3．
∵0＜t＜4.8，
∴當t=$\frac{9}{5}$秒或t=3秒時，S_△CPQ：S_△ABC=9：100．
（3）①若CQ=CP，如圖1，
則t=4.8-t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如圖2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{t}{2}$．
∵△CHP∽△BCA．
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{CP}{AB}$．
∴$\frac{\frac{t}{2}}{6}=\frac{4.8-t}{10}$．
解得：t=$\frac{144}{55}$．
③若QC=QP，
過點Q作QE⊥CP，垂足為E，如圖3所示．
同理可得：t=$\frac{24}{11}$．
綜上所述：當t為2.4秒或$\frac{144}{55}$秒或$\frac{24}{11}$秒時，△CPQ為等腰三角形．
（4）由題可知有兩種情形，
設DP=t，CQ=t．則CP=4.8-t．
①當PQ⊥CD時，如圖a

∵△QCP∽△△ABC
∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{BC}$，即$\frac{t}{10}$=$\frac{4.8-t}{6}$，
∴t=3；
②當PQ⊥AC，如圖b．
∵△PCQ∽△ABC，
∴$\frac{CP}{AB}$=$\frac{CQ}{BC}$，即$\frac{4.8-t}{10}$=$\frac{t}{6}$，解得t=$\frac{9}{5}$，
∴當t為3或$\frac{9}{5}$時，△CPQ與△△ABC相似是直角三角形．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、一元二次方程的應用、勾股定理等知識，具有一定的綜合性，而利用等腰三角形的三線合一巧妙地將兩腰相等轉化為底邊上的兩條線段相等是解決第三小題的關鍵．