Question

12．如圖，在平面直角坐標系中，直線BC交x軸于點C，交y軸于點B，已知OC=3，OB=4．
（1）直接寫出B、C兩點坐標．
（2）把線段BC繞著點B逆時針旋轉90°得到線段BA，畫出點A的位置，并求出點A坐標．
（3）求出直線BC、直線AB及x軸圍成的三角形面積．

Answer 1

分析 （1）根據OB和OC的長度和在坐標系所處的位置即可求得；
（2）根據題意得出BC=BA，∠CBA=90°，進而根據AAS證得△CBO≌△BAD（AAS），根據全等三角形的性質得出BD=OC=3，AD=OB=4，即可求得A的坐標；
（3）根據待定系數法求得AB的解析式，從而求得與x軸的交點，然后根據三角形面積公式求得即可．

解答 解：（1）∵OC=3，OB=4．
∴B（0，4）、C（-3，0）；
（2）如圖：依題意得：BC=BA，∠CBA=90°，
∴∠CBO+∠ABD=90°，
∵∠BCO+∠CBO=90°，
∴∠BCO=∠ABD，
過點A作AD⊥BO于D，
在△CBO和△BAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCO=∠ABD}\\{∠BOC=∠ADB}\\{BC=BA}\end{array}\right.$
△CBO≌△BAD（AAS），
∴BD=OC=3，AD=OB=4，
∴OD=1，
∵AD∥x軸，
∴A（4，1）；
（3）∵A（4，1），B（0，4），
直線AB的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=1}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴直線AB：$y=-\frac{3}{4}x+4$，
令y=0，則0=-$\frac{3}{4}$x+4，解得x=$\frac{16}{3}$，
∴與x軸的交點$E（\frac{16}{3}，0）$，
∴CE=3+$\frac{16}{3}$=$\frac{25}{3}$，
S_△BCE=$\frac{1}{2}$×CE×OB=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{3}$×4=$\frac{50}{3}$．

點評 本題是一次函數的綜合題，考查了旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，待定系數法求一次函數的解析式以及三角形面積等，證得三角形全等是解題的關鍵．