Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，弦DF與半徑OB相交于點P，連結(jié)EF、EO，若DE=2$\sqrt{3}$，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求$\widehat{EF}$的長度；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理由OC⊥DE得EC=$\frac{1}{2}$DE=$\sqrt{3}$，由弦DE垂直平分半徑OA得OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OE，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到∠E=30°，OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=1，所以OE=2；
（2）連結(jié)OF，BF，BE，作BH⊥DF于H，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠EOF=2∠EPF=90°；
（3））根據(jù)扇形面積公式和圖中陰影部分的面積=S_扇形EOF-S_△OEF計算得到S_陰影=π-2．

解答 解：（1）∵OC⊥DE，
∴DC=EC=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$，
∵弦DE垂直平分半徑OA，
∴OC=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$OE，
在Rt△OCE中，∵OE=2OC，
∴∠E=30°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CE=1，
∴OE=2，
即⊙O的半徑為2；
（2）連結(jié)OF，如圖，
∵∠DPA=45°，
∴∠DDC=45°，
∴∠EOF=2∠EPF=90°，
∴$\widehat{EF}$的長度=$\frac{90•π×2}{180}$=π；

（3）圖中陰影部分的面積=S_扇形EOF-S_△OEF
=$\frac{1}{2}$×π×2-$\frac{1}{2}$•2•2
=π-2．

點評 本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．也考查了扇形的面積公式、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關系．