Question

10．如圖1，如果一條直線截一個三角形的任意兩邊，把這個三角形分成了一個四邊形和一個三角形．若這個四邊形的四個頂點在同一個圓上，則稱這條直線為該三角形的一條共圓線．
（1）如圖1，DE為△ABC的一條共圓線，判斷△ABC被DE所分成的三角形與△ABC的形狀有什么關系？并說明理由；
（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，點P是邊BC上的一點，PC=1，求過P的共圓線被△ABC兩邊截得的線段長；
（3）如圖3，A（1，3），B（-3，0），C（4，0），點P為線段BC上一動點，設CP=x，若過P存在△ABC的共圓線，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）相似，根據四點共圓時，圓外角等于它的內對角得：∠EDC=∠B，利用兩角對應相等，則兩三角形相似；
（2）如圖2，過P作PD⊥AB于D，根據對角互補的四邊形四點共圓，可得A、D、P、C四點共圓，則直線PD就是△ABC的共圓線，分別求出AD、BD、BP、PC的長即可；
（3）分兩種情況：第一種：如圖4和圖5，過P的直線與A、C共圓，根據∠ACD=45°，求出x的最小值為$\frac{24}{7}$；第二種情況：如圖5和圖6，過P的直線與A、B共圓，作一個角與∠ABC相等，求此時x的最大值為$\frac{18}{7}$；由此寫出x的取值范圍．

解答 解：（1）如圖1，△DEC∽△BAC，理由是：
∵A、B、E、D四點共圓，
∴∠EDC=∠B，
∵∠C=∠C，
∴△DEC∽△BAC；
（2）如圖2，過P作PD⊥AB于D，
∴∠ADP=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ADP+∠C=180°，
∴A、D、P、C四點共圓，
∴直線PD就是△ABC的共圓線，
在Rt△ABC中，AB=5，AC=3，
由勾股定理得：BC=4，
∴BP=BC-PC=4-1=3，
∵∠BDP=∠C=90°，∠B=∠B，
∴△BDP∽△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BP}{AB}$，
∴$\frac{BD}{4}=\frac{3}{5}$，
∴BD=$\frac{12}{5}$，
∴AD=5-$\frac{12}{5}$=$\frac{13}{5}$；
（3）過A作AD⊥BC于D，
∵A（1，3），C（4，0），
∴AD=3，CD=4-1=3，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
過A作AE⊥AB，交AC于E，作∠BAE的平分線AP，交x軸于P，
∵∠DAE+∠DAB=90°，∠DAE+∠AED=90°，
∴∠DAB=∠AED，
∵∠ADB=∠ADE=90°，
∴△ADE∽△BDA，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{AB}$，
在Rt△ADB中，AD=3，BD=3+1=4$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$，
∴AB=5，
∴$\frac{3}{4}=\frac{AE}{5}$，
∴AE=$\frac{15}{4}$，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=$\frac{25}{4}$，
∴EC=7-$\frac{25}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∵AP平分∠BAE，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{BP}{PE}$，
∴$\frac{5}{\frac{15}{4}}$=$\frac{7-x}{x-\frac{3}{4}}$，
∴x=$\frac{24}{7}$；
如圖4，在AB上任意取一點D作DE⊥AB，交BC于E，再作∠BDE的平分線，
則∠BDE=90°，
∴∠BDP=45°，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠BDP，
∴A、D、P、C四點共圓，
∴當$\frac{24}{7}$＜x＜7時，過P存在△ABC的共圓線，
如圖5，作∠CAP=∠ABC，
∴△APE∽△BAD，
∵AD=3，BD=4，
∴設PE=3a，AE=4a，則EC=3a，AP=5a，
∴PC=3$\sqrt{2}$a，
∴PD=DC-PC=3-3$\sqrt{2}$a，
在Rt△APD中，${3}^{2}+（3-3\sqrt{2}a）^{2}=（5a）^{2}$，
7a²+18$\sqrt{2}$a-18=0，
（a+3$\sqrt{2}$）（7a-3$\sqrt{2}$）=0，
a₁=-3$\sqrt{2}$（舍），a₂=$\frac{3\sqrt{2}}{7}$，
∴PC=3$\sqrt{2}$a=3$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{7}$=$\frac{18}{7}$，
如圖6，同理作∠PEC=∠ABC，
則A、B、P、E四點共圓，
則當0＜x＜$\frac{18}{7}$時，過P存在△ABC的共圓線，
綜上所述，當0＜x＜$\frac{18}{7}$和$\frac{24}{7}$＜x＜7時，過P存在△ABC的共圓線．

點評 本題主要考查了四點共圓的性質和判定，即：①共圓的四個點所連成的同側共底的兩個三角形的頂角相等；②圓內接四邊形對角互補；③圓內接四邊形的外角等于內對角；反之也成立．