Question

2．拋物線的解析式為y=$\frac{1}{4}$x²-1，D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，$\frac{3}{2}$），經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，-2）的直線l與x軸平行，P（m，n）是拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-1上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求證：P到O的距離PO等于P到直線l的距離PE；
（2）當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）求三角形PDO的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，若將“使△PDO的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，若-4≤m≤4，請(qǐng)直接寫出所有“好點(diǎn)”的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出OP的長(zhǎng)，以及點(diǎn)P到直線l的距離即可證明．
（2）如圖1中，過(guò)P作PM∥y軸，交直線l于M．欲求△PDO的周長(zhǎng)最小，則PO+PD的值最小，因?yàn)镻O+PD=PD+PM≥DM，所以PD+PO的最小值為DM，即當(dāng)D、P、M三點(diǎn)共線時(shí)PD+PM=PO+PD=DM；
（3）分五種情形討論求解．①如圖2中，當(dāng)m＜-2時(shí)，作PM⊥x軸于M，連接DM，根據(jù)S=S_△PDM+s_△DOM-S_△PMO，計(jì)算即可．②如圖3中，當(dāng)-2≤m＜-1時(shí)，作PM⊥y軸于M，根據(jù)S=S_△PDM+S_△DOM-S_△POM，計(jì)算即可．③如圖4中，當(dāng)-1≤m＜-3+$\sqrt{13}$時(shí)，作DM⊥x軸于M，根據(jù)S=S_△DOM+S_△POM-S_△DMP，計(jì)算即可．④如圖5中，當(dāng)-3+$\sqrt{13}$≤m＜2時(shí)，作PM⊥y軸于M，S=S_△DOM+S_△DPM-S_△DPM，計(jì)算即可．⑤如圖6中，當(dāng)m≥2時(shí)，作PM⊥x軸于M，根據(jù)S=S_△DOM+S_△DPM-S_△DPM，計(jì)算即可．若-4≤m≤4，求出S的整數(shù)解，即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵P（m，n）是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，
∴設(shè)P（m，$\frac{1}{4}$m²-1），
∴PO=d₁=$\sqrt{{m}^{2}+（\frac{1}{4}{m}^{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{（\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，點(diǎn)P到直線l的距離為d₂=$\frac{1}{4}$m²-1-（-2）=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴d₁=d₂，
∴P到O的距離PO等于P到直線l的距離PE．

（2）解：如圖1中，過(guò)P作PM∥y軸，交直線l于M．

則P（m，n），M（m，-2）；
∴PO²=m²+n²，PM²=（n+2）²；
∵n=$\frac{1}{4}$m²-1，即m²=4n+4；
∴PO²=n²+4n+4=（n+2）²，
∴PO²=PM²，
即PO=PM；
∵D點(diǎn)（-1，$\frac{3}{2}$），則OD的長(zhǎng)為定值；
若△PDO的周長(zhǎng)最小，則PO+PD的值最小；
∵PO+PD=PD+PM≥DM，
∴PD+PO的最小值為DM，
即當(dāng)D、P、M三點(diǎn)共線時(shí)PD+PM=PO+PD=DM；
此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，代入拋物線的解析式可得y=$\frac{1}{4}$-1=-$\frac{3}{4}$，
即P（-1，-$\frac{3}{4}$）．

（3）解：直線OD的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{2}x}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3-\sqrt{13}}\\{y=\frac{9}{2}+\frac{3}{2}\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+\sqrt{13}}\\{y=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
①如圖2中，當(dāng)m＜-2時(shí)，作PM⊥x軸于M，連接DM．

S=S_△PDM+s_△DOM-S_△PMO=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$m²-1）•（-1-m）+$\frac{1}{2}$•（-m）•$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$m²-1）（-m）=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$．

②如圖3中，當(dāng)-2≤m＜-1時(shí)，作PM⊥y軸于M．

S=S_△PDM+S_△DOM-S_△POM=$\frac{1}{2}$（-1-m）（$\frac{3}{2}$+1-$\frac{1}{4}{m}^{2}$）+$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{4}$m²）•1-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{4}$m²）（-m）=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{4}$．
③如圖4中，當(dāng)-1≤m＜-3+$\sqrt{13}$時(shí)，作DM⊥x軸于M．

S=S_△DOM+S_△POM-S_△DMP=$\frac{1}{2}$•1•$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$•1•（1-$\frac{1}{4}$m²）-$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{2}$•（m+1）=-$\frac{1}{8}$m²-$\frac{3}{4}$m+$\frac{1}{2}$．
④如圖5中，當(dāng)-3+$\sqrt{13}$≤m＜2時(shí)，作PM⊥y軸于M．

S=S_△DOM+S_△OPM-S_△DMP=$\frac{1}{2}$•m•（1-$\frac{1}{4}$m²）+$\frac{1}{2}$•m•$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{4}$m²）（1+m）=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{2}$．
⑤如圖6中，當(dāng)m≥2時(shí)，作PM⊥x軸于M．

S=S_△DOM+S_△DPM-S_△DPM=$\frac{1}{2}$•m•$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{4}$m²-1）（m+1）-$\frac{1}{2}$•m•（$\frac{1}{4}$m²-1）=$\frac{1}{8}$m²+$\frac{3}{4}$m-$\frac{1}{8}$．
∵-4≤m≤4，
當(dāng)m=-4時(shí)，s=$\frac{3}{2}$，m=4時(shí)，S=4$\frac{7}{8}$，
由此可知S的整數(shù)解為2，3，4，對(duì)應(yīng)的好點(diǎn)有5個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離公式、三角形面積的等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用垂線段最短解決最值問(wèn)題，此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用，學(xué)會(huì)用分割法求三角形的面積，屬于中考?jí)狠S題．