Question

8．如圖，M為等邊△ABC內部的一點，且MA=8，MB=10，MC=6，將△BMC繞點C順時針旋轉得到△ANC．下列說法中：①MC=NC；②AM=AN；③S_{四邊形AMCN}=S_△ABC-S_△ABM；④∠AMC=120°．正確的有①③．（請填上番號）

Answer 1

分析 根據旋轉的性質得到CM=CN，BM=AN，故①正確，②錯誤；△BCM≌△ACN，于是得到S_△BCM=S_△ACN，求得S_{四邊形AMCN}=S_△ACM+S_△ACN=S_△ABC-S_△ABM；故③正確；連接MN，根據等邊三角形的性質得到∠ACB=60°，推出△CMN是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠CMN=60°，MN=CM=6，根據勾股定理的逆定理得到∠AMN=90°，求得∠AMC=150°，故④錯誤．

解答 解：∵△BMC繞點C順時針旋轉得到△ANC，
∴CM=CN，BM=AN，故①正確，②錯誤；
△BCM≌△ACN，
∴S_△BCM=S_△ACN，
∴S_{四邊形AMCN}=S_△ACM+S_△ACN=S_△ABC-S_△ABM；故③正確；
連接MN，∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACN=∠BCM，
∴∠MCN=60°，
∴△CMN是等邊三角形，
∴∠CMN=60°，MN=CM=6，
在△AMN中，∵AM²+MN²=8²+6²=10²=AN²，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMC=150°，故④錯誤，
故答案為：①③．

點評 本題考查了全等三角形的性質，旋轉的性質，等邊三角形的性質，勾股定理的逆定理，連接MN構造等邊三角形是解題的關鍵．