Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是邊BC上的一動點（不與B，C重合），∠ADE=∠B=α，且cosα=$\frac{4}{5}$，DE交AC于點E．
（1）求證：△ABD∽△DCE；
（2）探究：在點D運動過程中，△ADE能否構成等腰三角形？若能，求出BD的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，易得∠B=∠C，又由∠ADE=∠B=α，根據三角形外角的性質，可證得∠BAD=∠EDC，繼而證得結論；
（2）分別從DE=AD與DE=AE去分析求解即可求得答案．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，AB=AC=10，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B=α，∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；

（2）解：過點A作AF⊥BC于點F，
①若DE=AD，則△ABD≌△DCE，
∴CD=AB=10，
∵∠ADE=∠B=α，且cosα=$\frac{4}{5}$，
∴BF=AB•cosα=10×$\frac{4}{5}$=8，
∵AB=AC，
∴BC=2BF=16，
∴BD=BC-CD=6；
②若DE=AE，則∠EAD=∠ADE，
∵∠B=∠C=∠ADE=α，
∴∠B=∠ADE，∠EAD=∠C，
∴△ABC∽△EAD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5}{8}$，
∵△ABD∽△DCE，
∴$\frac{CD}{AB}=\frac{DE}{AD}=\frac{5}{8}$，
∴CD=$\frac{25}{4}$，
∴BD=$\frac{39}{4}$；
綜上所述：△ADE能夠成等腰三角形，BD=6或$\frac{39}{4}$．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及三角形外角的性質．注意準確作出輔助線，利用分類討論思想求解是解此題的關鍵．