Question

18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（10，0），B（4，8），C（0，8），連接AB，BC，點P在x軸上，從原點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向點A運動，同時點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線A-B-C向點C運動，其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)P，M兩點運動的時間為t秒．
（1）求AB長；
（2）設(shè)△PAM的面積為S，當(dāng)0≤t≤5時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出S取最大值時，點P的位置；
（3）t為何值時，△APM為直角三角形？

Answer 1

分析 （1）過點B作BD⊥x軸于點D，利用勾股定理求出AB的長度；
（2）先判斷出點M在AB上，然后表示出PA，ME即可用三角形的面積公式即可；
（3）△APM為直角三角形時，由于沒有規(guī)定哪個頂點是直角頂點，所以分三種情況進行討論；利用銳角三角函數(shù)或相似三角形的性質(zhì)即可．

解答 解：（1）如圖1，過點B作BD⊥x軸于點D，
∵A（10，0），B（4，8）C（0，8），
∴AO=10，BD=8，AD=6，
由勾股定理可求得：AB=10，
（2）∵AB=10，
∴10÷2=5，
∵0≤t≤5，
∴點M在AB上，
作ME⊥OA于E，
∴△AEM∽△ADB，
∴$\frac{ME}{BD}=\frac{AM}{AB}$，
∴$\frac{ME}{8}=\frac{2t}{10}$，
∴ME=$\frac{8}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$PA•ME=$\frac{1}{2}$（10-t）$•\frac{8}{5}t$=-$\frac{4}{5}{t}^{2}+8t$=-$\frac{4}{5}$（t-5）²+20，
∵0≤t≤5，
∴t=5時，S取最大值，此時PA=10-t=5，
即：點P在OA的中點處．
（3）由題意可知：0≤t≤7，
當(dāng)點P是直角頂點時，
∴PM⊥AP，
∴PA=10-t，
若0≤t≤5時，點M在AB上，如圖2，
此時AM=2t，
∵cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AP}{AM}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{10-t}{2t}=\frac{3}{5}$
∴t=$\frac{50}{11}$，
若5＜t≤7時，點M在BC上，如圖3，
∴CM=14-2t，OP=t，
∴OP=CM，
∴t=14-2t，
∴t=$\frac{14}{3}$，
當(dāng)點A是直角頂點時，
此時，∠MAP不可能為90°，此情況不符合題意；
當(dāng)點M是直角頂點時，
若0≤t≤5時，M在AB上，如圖4，
此時，AM=2t，AP=10-t
∵cos∠BAO=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AM}{AP}=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{2t}{10-t}=\frac{3}{5}$，
∴t=$\frac{30}{13}$，
若5＜t≤7時，點M在BC上，如圖5，
過點M作ME⊥x軸于點E，
此時，CM=14-2t，OP=t，
∴ME=8，PE=CM-OP=14-3t，
∴EA=10-（14-2t）=2t-4，
∵∠PMA=∠MEA=90°，
∴∠PME+∠EMA=∠EMA+∠MAP=90°，
∴∠PME=∠MAP，
∴△PME∽△MAE，
∴$\frac{ME}{PE}=\frac{EA}{ME}$，
∴ME²=PE•EA，
∴64=（14-3t）（2t-4），
∴3t²-8t+60=0，
△=-656＜0，故此情況不存在；
綜上所述，t=$\frac{50}{11}$或$\frac{30}{13}$；

點評 此題是三角形的綜合問題，涉及平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，三角形的面積公式，解方程等知識，畫出圖形是解本題的關(guān)鍵，綜合程度較高．