Question

8．如圖，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸和y軸上，點B的坐標為（4，6）．雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經過BC的中點D，且與AB交于點E，連接DE．
（1）求k的值及點E的坐標；
（2）若點F是邊上一點，且△BCF∽△EBD，求直線FB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由條件可先求得點D的坐標，代入反比例函數可求得k的值，又由點E的位置可求得E點的橫坐標，代入可求得E點坐標；
（2）由相似三角形的性質可求得CF的長，可求得OF，則可求得F點的坐標，利用待定系數法可求得直線FB的解析式．

解答 解：
（1）在矩形OABC中，
∵B（4，6），
∴BC邊中點D的坐標為（2，6），
∵又曲線y=$\frac{k}{x}$的圖象經過點（2，6），
∴k=12，
∵E點在AB上，
∴E點的橫坐標為4，
∵y=$\frac{12}{x}$經過點E，
∴E點縱坐標為3，
∴E點坐標為（4，3）；
（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，
∵△FBC∽△DEB，
∴$\frac{BD}{CF}$=$\frac{BE}{CB}$，即$\frac{2}{CF}$=$\frac{3}{4}$，
∴CF=$\frac{8}{4}$，
∴OF=$\frac{10}{3}$，即點F的坐標為（0，$\frac{10}{3}$），
設直線FB的解析式為y=kx+b，而直線FB經過B（4，6），F（0，$\frac{10}{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=6}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直線BF的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$．

點評 本題為反比例函數的綜合應用，涉及矩形的性質、待定系數法、相似三角形的性質等知識．在（1）中求得E點的坐標是解題的關鍵，在（2）中求得F點的坐標是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度不大．