Question

7．在△ABC中，∠ACB=90°，經過點B的直線l（不與直線AB重合）與直線BC的夾角∠DBC=∠ABC，分別過點C、A作直線l的垂線，垂足分別為點D、E．
（1）問題發現
①若∠ABC=30°，如圖①，則$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$；②若∠ABC=45°，如圖②，則$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$．
（2）拓展探究
當0°＜∠ABC∠90°，$\frac{CD}{AE}$的值由有無變化？請僅就圖③的情形給出證明．
（3）問題解決
隨著△ABC的位置旋轉，若直線CE、AB交于點F，且$\frac{CF}{EF}$=$\frac{5}{6}$，CD=4，請直接寫出線段BD的長．

Answer 1

分析 （1）①根據直角三角形的性質得到CD=$\frac{1}{2}$BC，根據全等三角形的性質得到BC=AE，等量代換得到CD=$\frac{1}{2}$AE，即可得到結論；②推出△ACB是等腰直角三角形，求得∠CBD=45°，證得B與E重合，根據等腰直角三角形的性質得到EF=$\frac{1}{2}$AE，根據矩形的性質得到EF=CD，即可得到結論；
（2）延長AC與直線L交于G，根據等腰三角形的性質得到BA=BG，證得CD∥AE，根據相似三角形的性質即可得到$\frac{CD}{AE}$的值；
（3）分情況討論：①當點F在線段AB上時，過C作CG∥l交AE于H，交AB于G，推出△CFG∽△EFB，根據相似三角形的性質得到$\frac{CF}{EF}$=$\frac{5}{6}$，設CG=5x，BE=6x，則AB=10x，∵∠根據勾股定理得到AE=8x，由（2）得AE=2CD，根據相似三角形的性質得到$\frac{HG}{BE}$=$\frac{1}{2}$，于是得到CH=CG+HG=8，根據平行四邊形的性質得到DE=CH=8，求得BD=DE=BE=2；②當點F在線段BA的延長線上時，過點C作CG∥l交AE于點H，交AB于G，同理可得求得結論．

解答 解：（1）①如圖①，∵CD⊥BD，
∴∠CDB=90°，
∵∠DBC=∠ABC=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC，
在△ABE與△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠AEB=90°\\;}\\{∠BAE=∠ABC=30°}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ABE（AAS），
∴BC=AE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
②如圖②，∵∠ABC=45°，∠ACB=90°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∵∠CBD=45°，
∴∠ABD=90°，
∵AE⊥BC，
∴B與E重合，
∴EF=$\frac{1}{2}$AE，
∵CD⊥BD，
∴四邊形CDEF的矩形，
∴EF=CD，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$；

（2）$\frac{CD}{AE}$的值無變化，
理由：如圖③，延長AC與直線l交于G，
∴∠ABC=∠CBG，
∵∠ACB=90°，
∴∠AGB=∠BAG，
∴BA=BG，
又∵BC⊥AG，
∴C是AG的中點，
∵AE⊥l，CD⊥l，
∴CD∥AE，
∴△GCD∽△GAE，
∴$\frac{CD}{AE}$=$\frac{GC}{GA}$=$\frac{1}{2}$；

（3）分兩種情況：
①如圖④，當點F在線段AB上時，過C作CG∥l交AE于H，交AB于G，
∴∠DBC=∠HCB，
∵∠DBC=∠CBF，
∴∠CBF=∠HCB，
∴CG=BG，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAG+∠CBF=∠HCB+∠ACG=90°，
∴∠ACG=∠CAG，
∴CG=AG=BG，
∵CG∥l，
∴△CFG∽△EFB，
∴$\frac{CF}{EF}$=$\frac{CG}{BE}$=$\frac{5}{6}$，
設CG=5x，BE=6x，則AB=10x，
∵∠AEB=90°，
∴AE=8x，
由（2）得AE=2CD，
∵CD=4，
∴AE=8=8x，
∴x=1，
∴AB=10，BE=6，CG=5，
∵GH∥l，
∴△AGH∽△ABE，
∴$\frac{HG}{BE}$=$\frac{AH}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴HG=3，
∴CH=CG+HG=8，
∵CG∥l，CD∥AE，
∴四邊形CDEH為平行四邊形，
∴DE=CH=8，
∴BD=DE-BE=2；

②如圖⑤，當點F在線段BA的延長線上時，
過點C作CG∥l，交AE于點H，交AB于G，
同理可得CG=5，BE=6，HG=3，
∴DE=CH=CG-HG=2，
∴BD=DE+BE=8，
綜上所述，線段BD的長為2或8．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，矩形、平行四邊形的判定和性質，等腰直角三角形的性質以及勾股定理的綜合應用，正確的作出輔助線，構造相似三角形和矩形是解題的關鍵．在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形．