Question

17．如圖，等腰直角△ABC，∠BAC=90°，點E是邊AB上的任意一點（E與A，B兩點不重合），過點E作ED⊥CE，過點B作BD⊥BC，BD與ED相交于點D．

（1）當點E是AB邊中點時．如圖1，CE與DE有怎樣的數量關系；
（2）當點E不是AB邊中點時．如圖2，CE與DE有怎樣的數量關，并說明理山；
（3）當點E在AB的延長線上時．如圖3．CE與DE有怎樣的數量關系．并說明理由．

Answer 1

分析 （1）結論：CE=DE．如圖1中，取AC的中點M，連接EM．只要證明△CME≌△EBD，即可解決問題．
（2）結論：CE=DE．如圖2中，在AC上取一點M，使得CM=EB，只要證明△CME≌△EBD，即可解決問題．
（3）結論：CE=DE．如圖3中，在AC的延長線上取一點M，使得CM=BE，只要證明△CME≌△EBD，即可解決問題．

解答 解：（1）結論：CE=DE，理由如下，
如圖1中，取AC的中點M，連接EM．

∵AC=AB，∠A=∠CED=90°，
∴∠DEB+∠AEC=90°，∠MEC+∠ACE=90°，∠ABC=45°，
∴∠MCE=∠DEB，
∵AM=MC，AE=EB，
∴MC=EB，AM=AE，
∴∠AME=45°，∠CME=135°，
∵BD⊥BC，
∴∠DBC=90°，∠EBD=135°，
∴∠CME=∠EBD，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．

（2）結論：CE=DE，理由如下，
如圖2中，在AC上取一點M，使得CM=EB，

∵AC=AB，CM=EB，
∵AM=AE，∵∠A=90°，
∴∠AME=45°，
∴∠CME=135°=∠EBD，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．


（3）結論：CE=DE，理由如下，
如圖3中，在AC的延長線上取一點M，使得CM=BE，

∵AC=AB，CM=EB，
∵AM=AE，∵∠A=90°，
∴∠AME=45°=∠DBE，
∵∴∠DEF+∠AEC=90°，∠ACE+∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠DEF，
∴∠MCE=∠BED，
在△CME和△EBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MCE=∠DEB}\\{CM=EB}\\{∠CME=∠EBD}\end{array}\right.$，
∴△CME≌△EBD，
∴CE=ED．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．